解析（中川） 宿題（接線）解答例

(1) y = 1 - e^-x の x = 1 における接線を求めなさい。

接線の方程式を y = a x + b とおく

f (x) = 1 - e^-x　とおくと、
x=1 における 傾きaは
a = f’(1)
　　 f’(x) = 0 - (- e^-x )　　ここはxの式(関数）。 この式にa= とかくと誤りです
a = f’(1) = 　　 e^-1　　ここはxに１が代入された値(定数）。 これがaです。aは定数ですから。
よって x= 1 における傾きは a = e^-1

x = 1のとき、　
y = f( 1 ) = 1 - e^-1
これを接線の方程式 y = a x + b に代入すると
　　　　　　　　　1 - e^-1 = e^-1 ・ 1 + b
　　　　　　　　　　　　　　　　　よって　b = 1 - 2 e^-1

得られたaと b を接線の方程式に代入して
y = e^-1 x + 1 - 2 e^-1


(2) y = x log_ex の x = e における接線を求めなさい。

接線の方程式を y = a x + b とおく

ｆ (x)= x log_ex とおくと、
x = e における傾きaは
a = f’(e)
　　f’(x) = ( x )' log_ex + x ( log_ex )'
　　　 　= 　　　log_ex + 1 　　ここはxの式(関数）。 この式にa= とかくと誤りです
a = f’(e) = 　　　log_ee + 1 　=　 2
よって x = e における傾きは a = 2

x = eのとき、　
y = f( e ) = e log_ee = e ・ 1 = e　　
これを接線の方程式 y = a x + b に代入すると
　　　　　　　　　　　　　 e = 2 e + b
　　　　　　　　　　　　　　　よって　b = -e

これを接線の方程式 y = a x + b に代入すると
y = 2 x - e

(3) y = x log_ex の x = e² における接線を求めなさい。

接線の方程式を y = a x + b とおく

ｆ (x)= x log_ex とおくと、
x = e² における傾きaは
　　f (x)　= x log_ex を微分すると
　　f’(x)　= ( x )' log_ex + x ( log_ex )'
　　　　　 = log_ex + 1
a = f’( e² ) = log_e e² + 1 　=　 2 +1 = 3
よって x = e² における傾きaは　a = 3

x = e² のとき、　
y = f( e² ) = e² log_ee² = e² ・ 2 = 2e²
これを接線の方程式 y = a x + b に代入すると
　　　　　　　　　　　　2e² = 3 e² + b
　　　　　　　　　　　　　　　　よって　b = -e²

得られたaと b を接線の方程式に代入して
y = 3 x - e²