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これまで求めてきた導関数
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f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx
は、
「 x から x+Δx にかけての増加率
ΔyΔx を詳しくしたもの」でした。
f′(x)=limΔx→0ΔyΔx
Δx は x の増えた分(増分)、
Δy は y の増えた分です。

この式は、
limΔx→0 を使わないで書くと、このようにも書けます。
ΔyΔx→f′(x)(Δx→0のとき)
この式の両辺に Δx をかけるとこうなります。
Δy→f′(x)Δx(Δx→0のとき)
つまり、上の図の Δy は、f′(x) と Δx でわかるということですね。
さて、この Δy は、xから x+Δx までの区間の y の増分でしたが、
この前の区間とか、これの次の区間とかについても、
同じように y の増分Δy を求めることができます。

これを、x=a から x=b までのたくさんの区間について
全部足し算したらどうでしょう?すこしづつ増えた Δyを
全部積み重ねていくことになります。
ちなみに 「x=a から x=b までについて全部足す」
を表す記号が x=bまで∑x=aから です。「総和」ともいいます。
英語で言うとsum(合計) です。頭文字 S です。
英文字の Sに対応するギリシア文字が Σ です。シグマと呼んでます。
x=bまで∑x=aからΔy→x=bまで∑x=aから f′(x)Δx (Δx→0のとき)
Δy の総和は、
f′(x)Δx の総和に近づくってこどです。
次の図を見て分かる通り、Δy の総和は、f(b)−f(a) になりますね。

よって
x=bまで∑x=aから f′(x)Δx →f(b)−f(a)(Δx→0のとき)
ここで注目はΔx→0 です。
Δx を無限に細かくしています。
ただ足すだけでなく、Δx を無限に細かく分けて足すとき、
ギリシア文字Δ を英語の d に替えてΔx を dx と書き、
ギリシア文字Σ を英語の S を縦に引っ張った形に替えて
x=bまで∑x=aから を
∫x=bまでx=aから と書きます。
これを使ったらもう
Δx→0 は書かなくていいです。
よって
∫x=bまでx=aから f′(x) dx=f(b)−f(a)
これを f′(x) の定積分と言います。
f′(x)dx をちょっとずつ足していくと f(a) から f(b) まで増える
ということを表しています。
左辺の中身 f′(x) は導関数ですね。微分してあります。
一方、右辺は ′ がついておらず、微分前の元の関数 f(x) です。
しかも最初の x=a における値と最後の x=b における値の差です。
右辺は、f(b)−f(a) と同じ式 f を2回書くのは面倒なので
これを
[ f(x) ]x=bまでx=aから と書いてもいいことになっています。
[ f(x) ]x=bまでx=aから=f(b)−f(a) です。
終着点 x=b の値を代入した式から、
出発点 x=a を代入した式の引き算を表します。
これを使うと
∫x=bまでx=aから f′(x) dx=[ f(x) ]x=bまでx=aから
と書くことができます。
以上まとめると
∫x=bまでx=aから (微分後) dx=[微分前]x=bまでx=aから
- 使用例
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答えが数字になりましたね。このように、x=出発点 とx=終着点 が
指定されている定積分の答えは、式ではなく数字になります。
- 積分記号をノートに書くときは
- 積分記号や、代入のための\Bigl[ \Bigr] は「大型記号」といい、必ず2行使って書くのが決まりです。
2行使って書いたら、間を1行あけて、次にまた2行使って書いていきます。

- 高校ではx=と書かなかった
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高校で積分をやった方は、
∫x=3までx=1から(2x) dx=[ x2]x=3までx=1から
とは書かずに、x=など付けないで
∫31(2x) dx=[ x2]31
と書いていたと思います。
高校の時は、1変数関数しか扱わないので、
x だけとか t だけしか出てこないから困らなかったのですが、
大学では
∫z=dz=−d∫y=1y=0∫x=1x=−1f(x,y,z) dx dy dz
とか
∫∞r=0∫θ=−π2θ=−π2∫ϕ=2πϕ=0f(r,ϕ,θ) dr,dϕ,dθ
のように、多変数の積分を行うようになりますので、
どれにどれを代入するのか混乱しがちです。
1年前期では困らないのですが、今後の勉強での混乱を避けるために、
x= を書いておくことをお勧めします。
(ただし∞の時はイコールを書かないこと)
早速使ってみよう
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