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解析 I 定積分

これまで求めてきた導関数
f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx は、 「 x から x+Δx にかけての増加率 ΔyΔx を詳しくしたもの」でした。 f(x)=limΔx0ΔyΔx Δxx の増えた分(増分)、 Δyy の増えた分です。


この式は、 limΔx0 を使わないで書くと、このようにも書けます。
ΔyΔxf(x)Δx0 この式の両辺に Δx をかけるとこうなります。
Δyf(x)ΔxΔx0 つまり、上の図の Δy は、f(x)Δx でわかるということですね。

さて、この Δy は、xから x+Δx までの区間の y の増分でしたが、
この前の区間とか、これの次の区間とかについても、
同じように y の増分Δy を求めることができます。

これを、x=a から x=b までのたくさんの区間について
全部足し算したらどうでしょう?すこしづつ増えた Δy
全部積み重ねていくことになります。

ちなみに 「x=a から x=b までについて全部足す」
を表す記号が x=bx=a です。「総和」ともいいます。
英語で言うとsum(合計) です。頭文字 S です。
英文字の Sに対応するギリシア文字が Σ です。シグマと呼んでます。
x=bx=aΔyx=bx=a f(x)Δx Δx0 Δy の総和は、 f(x)Δx の総和に近づくってこどです。

次の図を見て分かる通り、Δy の総和は、f(b)f(a) になりますね。

よって
x=bx=a f(x)Δx f(b)f(a)Δx0 ここで注目はΔx0 です。 Δx を無限に細かくしています。

ただ足すだけでなく、Δx を無限に細かく分けて足すとき、
ギリシア文字Δ を英語の d に替えてΔxdx と書き、
ギリシア文字Σ を英語の S を縦に引っ張った形に替えて
x=bx=ax=bx=a と書きます。 これを使ったらもう
Δx0 は書かなくていいです。 よって
x=bx=a f(x) dx=f(b)f(a) これを f(x) の定積分と言います。
f(x)dx をちょっとずつ足していくと f(a) から f(b) まで増える
ということを表しています。

左辺の中身 f(x) は導関数ですね。微分してあります。
一方、右辺は がついておらず、微分前の元の関数 f(x) です。
しかも最初の x=a における値と最後の x=b における値の差です。

右辺は、f(b)f(a) と同じ式 f を2回書くのは面倒なので これを
[ f(x) ]x=bx=a と書いてもいいことになっています。
[ f(x) ]x=bx=a=f(b)f(a) です。 終着点 x=b の値を代入した式から、
出発点 x=a を代入した式の引き算を表します。

これを使うと x=bx=a f(x) dx=[ f(x) ]x=bx=a と書くことができます。

以上まとめると

x=bx=a () dx=[]x=bx=a
使用例

答えが数字になりましたね。このように、x=出発点 とx=終着点 が
指定されている定積分の答えは、式ではなく数字になります。

積分記号をノートに書くときは

積分記号や、代入のための\Bigl[ \Bigr] は「大型記号」といい、必ず2行使って書くのが決まりです。
2行使って書いたら、間を1行あけて、次にまた2行使って書いていきます。


高校ではx=と書かなかった

高校で積分をやった方は、 x=3x=1(2x) dx=[ x2]x=3x=1 とは書かずに、x=など付けないで 31(2x) dx=[ x2]31 と書いていたと思います。 高校の時は、1変数関数しか扱わないので、 x だけとか t だけしか出てこないから困らなかったのですが、 大学では z=dz=dy=1y=0x=1x=1f(x,y,z) dx dy dz とか r=0θ=π2θ=π2ϕ=2πϕ=0f(r,ϕ,θ) dr,dϕ,dθ のように、多変数の積分を行うようになりますので、
どれにどれを代入するのか混乱しがちです。

1年前期では困らないのですが、今後の勉強での混乱を避けるために、
x= を書いておくことをお勧めします。
(ただしの時はイコールを書かないこと)

早速使ってみよう