増減表を書いてグラフを描きなさい。

f (x) = x e^-x （教科書レベル）

f ' (x) = (x)' e^-x + x ( e^-x )'
　　 = 　　 e^-x + x ( -e^-x )'
　　 = 　　 e^-x(1-x)

e^-x は常にプラスなので、
傾き f ' (x) が＋になるのは
1-x > 0 つまり 1> x のとき

e^-x は常にプラスなので、
傾き f ' (x) がマイナスになるのは
1-x < 0 つまり 1< x のとき

傾き f ' (x) が0になるのは (1-x)=0 つまりx=１のとき。

このx=1をy= f(x) に代入すると y= e^-1

これらを増減表にかくと

x		1
傾き f'(x)	+	0	-
グラフ f (x)	／ 増加	極大値 e-1	＼ 減少

xが１より大きいところでは、ｘはつねに＋
指数関数もつねに＋だから y= f (x) はマイナスにならない

傾きの増加率も求める

f ' ' (x) = { e^-x (1-x) } '
　　　 = ( e^-x )' (1-x) + e^-x (1-x)'
　　　 = -e^-x (1-x) + e^-x (-1)
　　　 = e^-x (x-2)
e^-x は常にプラスなので、
f ' ' (x) が＋になるのは x-2 > 0 のとき（下に凸）。

f ' ' (x) が - になるのは x-2 < 0 のとき（上に凸）。

f ' ' (x) が 0 になるのは x-2 =　0 のとき（変曲点）。
　　　変曲点を求めると
　　　x=2のとき y = 2 e^-2

これらを増減表に加えると 　

x		1		2
傾き f'	+	0	-	-	-
曲率 f' '	-	-	-	0	+
グラフ y	増加	極大値 e-1	減少	変曲点 2 e-2	減少