(2) f(x) = e^-x2

u= -x²とおけば f(u) = e^u　だから

\begin{align} f '(x) = {df \over dx} &= {d f\over du} \cdot {d u \over dx} \\ &= {d \over du} ( e^u ) \cdot {d\over dx} ( -x^2 ) \\ 　　 &= 　 e^u \cdot ( -2x )\\ 　　 &= -2x e^{-x^2} \end{align}

e^-x2 は常にプラスなので、

傾き f ' が＋になるのは -2x > 0 つまり 0 > x のとき f ' が＋

傾き f ' が -になるのは -2x < 0 つまり 0 < x のとき f ' が -

傾き f ' が0になるのは -2x =0のとき。つまり x= 0

このときy = f(0) = e⁰ = 1
これらを増減表にかくと

x		0
傾き f '	+	0	-
グラフ f(x)	／ 増加	極大値 1	＼ 減少

傾きの増加率も求める

f ' ' (x)= ( -2x e^-x2 ) '
　　　= ( -2x ) ' e^-x2 - 2x ( e^-x2) '
　　　= -2 e^-x2 - 2x ( -2x e^-x2 )
　　　= -2 e^-x2 + 4 x² e^-x2
　　　= ( 4 x² -2 ) e^-x2
　　　= 4 ( x² - 1/2 ) e^-x2
　　　= 4 ( x + 1/√2 ) ( x - 1/√2 ) e^-x2
4 と e^-x2 は常にプラスなので、
f ' ' が＋になるのは
( x + 1/√2 ) > 0 かつ( x - 1/√2 )> 0　のとき　... つまり　x ＞ 1/√2　のとき、
または
( x + 1/√2 ) < 0 かつ( x - 1/√2 ) < 0 のとき　... つまり　x < - 1/√2　のとき。
f ' ' が - になるのは
　　 大きい方　( x + 1/√2 ) が　> 0 で、小さい方　( x - 1/√2 ) が < 0 のとき。
　　　　　　　　　　　　つまり　 - 1/√2 < x < 1/√2 のとき。
　　　変曲点は　x= - 1/√2 のときも　x= 1/√2 のときも y = 1/√e　
これらを増減表に加えると 　　　　

x		- 1/√2		0		1/√2
傾き f '	+	+	+	0	-	-	-
f ' '	+	0	-	-	-	0	+
グラフ f(x)	増加	変曲点 1/√e	増加	極大値 1	減少	変曲点 1/√e	減少