(3) f(x) = x log _e x

f(x) ' = (x)’log _e x + x ( log _e x )’
　　 = log _e x + x (1/x)
　　 = log _e x + 1

傾き f(x) ' が＋になるのは log _e x + 1 > 0 の時

つまり log _e x > -1 の時
つまり log _e x > -1 log _e e の時
つまり log _e x > log _e e ^-1 の時
つまり 　　　 x > 　　 e^-1 の時

傾き f(x) ' が - になるのは x < e^-1 の時

傾き f(x) ' が0になるのは x = e^-1 の時。

このときf(x) = e^-1 log _e e^-1 = -e^-1

xはlogの真数になっているから、プラスのはずである。
だから x > 0 の範囲だけ考えればよい。
これらを増減表にかくと

x	0		e-1
傾き f(x) '		-	0	+
グラフ f(x)		＼ 減少	極小値 -e-1	／ 増加

傾きの増加率も求めてみると

f(x) ' ' = { log _e x + 1 } '
　　　= 1/ x
x >0 の範囲で、これは常にプラス。

x	0		e-1
傾き f(x) '		-	0	+
f(x) ''		+	+	+
グラフ f(x)	0に漸近	減少	極小値 -e-1	増加

x → +0のとき、 f(x) = x log _e x は

\begin{align} \lim_{ x \rightarrow +0} f(x) = \lim_{ x \rightarrow +0} x \log_e{ x } = \lim_{ x \rightarrow + 0} { ({x\over x}) \log_e{x} \over ({1\over x }) } = { -\infty \over + \infty} \end{align} なので、ロピタルの定理より \begin{align} \lim_{ x \rightarrow +0} x \log_e{ x } = \lim_{ x \rightarrow + 0} { ( \log_e{x})' \over ({1\over x }) '} = \lim_{ x \rightarrow + 0} { ( { 1\over x }) \over ( -{1\over x^2}) } = \lim_{ x \rightarrow + 0} { -x } = 0 \end{align} x → +0のとき、傾き f(x) ' は \begin{align} \lim_{ x \rightarrow +0} f(x) ' = \lim_{ x \rightarrow +0}( 1+ \log_e{ x }) = -\infty \end{align}