(4) f(x) = e^x loge x

\begin{align} f '(x) &= e^x \log_e x + e^x {1\over x} \\ &= e^x (\log_e x + {1\over x} ) \\ \end{align} $e^x$ は常に＋なので　 \begin{align} g(x)& = \log_e x + {1\over x} とおくと\\ g '(x) &= {1\over x} - {1\over x^2} \\ &= { x- 1\over x^2} \\ \end{align} $x^2$ は０以上なので、増減表を書くと x 1 ｇ ' - 0 + g(x) ＼ 減少 極小値 1 ／ 増加 ∴ g(x)>1>0 よって$f ' (x) =　e^x g(x) > 0 $, $f(x)$は単調増加。 傾きの増加率も求めると \begin{align} f ''(x) &= e^x ( \log_e x + {1\over x} )+ e^x ( {1\over x} - {1\over x^2} )\\ &= e^x (\log_e x + {2\over x} - {1\over x^2} )\\ \end{align} \begin{align} h(x) &= \log_e x + {2\over x} - {1\over x^2} とおくと\\ h '(x) &= {1\over x} - {2\over x^2}+{ 2 \over x^3}\\ &= {x^2-2x+2 \over x^3}\\ &= { (x-1)^2+1 \over x^3} >0 (x>0)\\ \end{align} よって$h(x)$ は単調増加。 ためしに $x =1$ を代入すると \begin{align} h(1) &= \log_e(1) + 2 - 1 = 0 + 1 >0\\ \end{align} ためしに $x ={1\over 2}$ を代入すると \begin{align} h({1\over 2}) &= \log_e{ 2^{-1} }+ 4 - 4 = -\log_e{ 2 }< 0 \\ \end{align} x =${1\over 2}$ と x =1の間のどこかで h(x)=0となるx がある。これをaとおくと h(a)=0 f ''(x) = exh(x) だから 　　　　 x 1/2 a 1 f ' + + + + + + + f ' ' - - - 0 + + + グラフ f(x) 増加 増加 増加 変曲点 増加 0 増加