周期 T = 2L の周期関数　f(t) のフーリエ級数展開は
f(t)〜　a0 + a1 cos(
2pt
2L
) + a2 cos(
2p2t
2L
) + a3 cos(
2p3t
2L
) + ... + am cos(
2pmt
2L
) + ...

 + b1 sin(
pt
L
) + b2 sin(
2pt
L
) + b3 sin(
3pt
L
) + ... + bm sin(
mpt
L
) + ... 　（ 2 で約分しました）
この　係数 a0, a1, a2,..., am, b1, b2,..., bm, を求める方法：
例えば　a3を求めるなら、 a3がかかっている関数 cos(
3pt
L
) を 両辺すべてにかけて
f(t) cos(
3pt
L
) =　a0 cos(
3pt
L
) + a1 cos(
pt
L
) cos(
3pt
L
) + a2 cos(
2pt
L
) cos(
3pt
L
) + a3 cos(
3pt
L
) cos(
3pt
L
) + ...








+ am cos(
mpt
L
) cos(
3pt
L
) + ...






+ b1 sin(
pt
L
) cos(
3pt
L
) + b2 sin(
2pt
L
) cos(
3pt
L
) + b3 sin(
3pt
L
) cos(
3pt
L
) + ...








+ bm sin(
mpt
L
) cos(
3pt
L
) + ...
1周期　積分する。 　(積分区間は-LからLでも0から2Lでもどっちでもいい件)
∫-LLf(t) cos(
3pt
L
) dt = a0 ∫-LL cos(
3pt
L
) dt + a1 ∫-LLcos(
pt
L
) cos(
3pt
L
) dt + a2 ∫-LLcos(
2pt
L
) cos(
3pt
L
) dt + a3 ∫-LLcos(
3pt
L
) cos(
3pt
L
) dt + ...








+ am ∫-LLcos(
mpt
L
) cos(
3pt
L
) dt + ...






+ b1 ∫-LLsin(
pt
L
) cos(
3pt
L
) dt + b2 ∫-LLsin(
2pt
L
) cos(
3pt
L
) dt + b3 ∫-LLsin(
3pt
L
) cos(
3pt
L
) dt + ...








+ bm ∫-LLsin(
mpt
L
) cos(
3pt
L
) dt + ...
すると 右辺最初の a0の項は cos(
3pt
L
) を -LからLまで ３周期 積分するので ０、
次のa1の項も m≠nの場合の ∫-LLcos(
mpt
L
) cos(
pnt
L
) dt なので０、
次のa2の項も ０、
次のa3の項だけは m=nの場合の ∫-LLcos(
mpt
L
) cos(
pnt
L
) dt なので a3かけるLとなり、他は全部０。
bのついた項は ∫-LLsin(
mpt
L
) cos(
pnt
L
) dt の形なので全て０。
よって、
∫-LLf(t) cos(
3pt
L
) dt =　 0 + 0 + 0 + a3 L + 0 + 0 + 0 + 0 + ...
よって、
a3 =
1
L
∫-LLf(t) cos(
3pt
L
) dt
同様に
am =
1
L
∫-LLf(t) cos(
mpt
L
) dt
bm =
1
L
∫-LLf(t) sin(
mpt
L
) dt
ただし、ｍ＝０の場合だけは特別で、 元の式をそのまま１周期積分すると ∫-LLf(t) dx = a0 ∫-LL cos(0) dx = a0 ∫-LL 1 dx = a0 2L なので
a0 =
1
2L
∫-LLf(t) dt
このようにして求めた係数 a0, a1, a2,..., am, b1, b2,..., bm, を最初の式に代入すれば､
周期関数 f(t) を正弦波の組み合わせの形に書くことができる。