数値解析　逆行列

行列A=

$ \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right) $

の逆行列 A^-1=

$ \left( \begin{array}{ccccc} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \\ \end{array} \right) $

とは,

かけて単位行列になればよいので

$ \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right) $

$ \left( \begin{array}{ccc} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \\ \end{array} \right) $

$ = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $

を満たす行列である。

この式は、小分けにすると

$ \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right) $

$ \left( \begin{array}{ccc} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{31} \\ \end{array} \right) $

$ = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) $

と

$ \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right) $

$ \left( \begin{array}{ccc} x_{12} \\ x_{22} \\ x_{32} \\ \end{array} \right) $

$ = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $

と

$ \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right) $

$ \left( \begin{array}{ccc} x_{13} \\ x_{23} \\ x_{33} \\ \end{array} \right) $

$ = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) $

の３つの連立方程式を解けばよい。

連立方程式を解くプログラムはもうあるし、
この連立方程式、左辺はみな同じなので右辺の部分を増やして１か０を入れとくだけで解けるよね。