x が a に近いときのテイラー展開
f( x ) 〜　 c₀ + c₁( x - a ) + c₂( x - a )² + c₃( x - a )³ + c₄( x - a )⁴ + c₅( x - a )⁵ + ... + c_n( x - a )ⁿ + ...

x が x_i に近いときのテイラー展開
f( x ) 〜　 c₀ + c₁( x - x_i ) + c₂( x - x_i )² + c₃( x - x_i )³ + c₄( x - x_i )⁴ + c₅( x - x_i )⁵ + ... + c_n( x - x_i )ⁿ + ...
　　　　 0次」　　　１次」　　　　　2次　　　　　3次

「長方形近似」は 0次まで計算、1次から誤差

(1本の誤差) = ∫xixi+h c1( x - xi ) dx x - xi = u と変数変換すると、dx = du x : xi→xi+h u : 0 → h (1本の誤差) = ∫0h 　c1 u du 　　　　　　= c1 h2 /2 (N本の誤差) = c1 h・h・N /2 　ここで h = (b-a)/N より h・N = (b-a) = 一定

よって「長方形近似」による積分の誤差は h に比例
（刻みを 2倍細かくすると誤差が1/2 になる) （刻みを10倍細かくすると誤差が1/10 になる)

「台形近似」は 1次まで計算、2次から誤差

(1本の誤差) = ∫xixi+h c2( x - xi )2 dx 　　　 x - xi = u と変数変換すると、 (1本の誤差) = ∫0h 　c2 u2 du 　　　　　　= 　c2 h3 /3 (N本の誤差) = 　c2 h2・h・N /3 　ここで h = (b-a)/N より h・N = (b-a) = 一定

よって「台形公式」による積分の誤差は h² に比例
（刻みを 2倍細かくすると誤差が1/4 になる) （刻みを10倍細かくすると誤差が1/100 になる)

「シンプソンの公式」は 2次まで計算、3次から誤差

誤差

　　　（　計算値　）　　　−　(真の値）＝　　誤差　　

台形公式なら

（刻み幅 hで求めた計算値）−　(真の値）＝（その刻み幅h）の２乗に比例

c₂/3 を c とかくと

（刻み幅 hで求めた計算値）− (真の値）＝ c h² 　　　・・・・・・(a)

刻み幅が2倍粗かったときは

（刻み幅 2h で求めた計算値）− (真の値）＝ c (2h)² 　　・・・・・・(b)

(b)-(a)で(真の値）を消去

（粗い刻み幅2hで求めた計算値）− （半分の刻み幅hで求めた計算値）= c (2h)² - c h²
（粗い刻み幅2hで求めた計算値）− （半分の刻み幅hで求めた計算値）= 3 ch²　　・・・・・・(3)

式(c)の右辺も、刻み幅hの２乗に比例してます。
刻み幅を半分、半分にしながら、 「誤差」の代わりに「前の計算結果との差」を毎回調べ、
これが 1/4、1/4、、になっていっていれば、 台形公式がうまくいっている、と言えるのです。 ←最適な刻み数の求めかた

また、式(c)の右辺を３で割れば、式(b)の右辺と同じになります！これって誤差ですよね。

つまり、 「前の(２倍粗いときの）計算結果との差」を３で割ると、誤差が求まるのです。