東北工業大学 工学部情報通信工学科 中川研究室


テイラー展開 練習問題


f(x) = loge(x) を x = e の周りでテイラー展開しなさい

x が　　　に近いので、微小量 ( x-　　　) の多項式になるよう展開する。


完成形はこの形
loge(x) 〜 c0 + c1(x-　　) + c2(x-　　)2 + c3(x-　　)3
+ c4(x-　　)4 + c5(x-　　)5 + ... + cn(x-　　)n + ...　
cnを求める
 いまx=　 の周りの展開なので
c0 = f(　　　)　　
f( x ) =　　　　　　　　　より
f(　　) =　　　　　　　　　　よって c0=

c1=
f ' ( 　 )
1 !
f ' ( x ) =　　　　　　　　　　なので
f ' (　　) =　　　　　　　　　　　 よって c1 =

c2=
f '' (　　　)
2 !
f '' ( x ) =　　　　　　　　　　　なので
f '' (　　) =　　　　　　　　　　　　 よって c2 =

c3=
f ''' (　　　)
3 !
f ''' ( x ) =　　　　　　　　　　　　なので
f ''' (　　) =　　　　　　　　　　　　　 よって c3 =

c4=
f '''' (　　　)
4 !
f '''' ( x ) =　　　　　　　　　　　　　　　　なので
f '''' (　　) =　　　　　　　　　　　　　　　　 よって c4 =
途中(-1)(-2)(-3)など
かけ算しないほうが
約分が楽です






同様に続けていくと
c5 =

c6 =

c7 =

c8 =

:
cn=
(-1)n+1 e-n
n

展開式に代入 得られた係数を展開式に代入して完成
loge(x)〜 1+ e-1(x-e) -
e-2
2
 (x-e)2+
e-3
3
 (x-e)3
-
e-4
4
 (x-e)4+
e-5
5
 (x-e)5 -
e-6
6
 (x-e)6+ ...
+
(-1)n+1 e-n
n
 (x-e)n+ ...
戻る 		1次の項まで取ると
loge(x) 〜 e-1x
(xがeに近いとき)

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