周期 T の周期関数　f(t) のフーリエ級数展開は
f(t)〜　a0 + a1 cos(
2pt
T
) + a2 cos(
2p2t
T
) + a3 cos(
2p3t
T
) + ... + am cos(
2pmt
T
) + ...

 + b1 sin(
2pt
T
) + b2 sin(
2p2t
T
) + b3 sin(
2p3t
T
) + ... + bm sin(
2pmt
T
) + ...
この　係数 a0, a1, a2,..., am, b1, b2,..., bm, を求める方法：
例えば　a3を求めるなら、 a3がかかっている関数 cos(
2p3t
T
) を 両辺すべてにかけて
f(t) cos(
2p3t
T
) =　a0 cos(
2p3t
T
) + a1 cos(
2pt
T
) cos(
2p3t
T
) + a2 cos(
2p2t
T
) cos(
2p3t
T
) + a3 cos(
2p3t
T
) cos(
2p3t
T
) + ...








+ am cos(
2pmt
T
) cos(
2p3t
T
) + ...






+ b1 sin(
2pt
T
) cos(
2p3t
T
) + b2 sin(
2p2t
T
) cos(
2p3t
T
) + b3 sin(
2p3t
T
) cos(
2p3t
T
) + ...








+ bm sin(
2pmt
T
) cos(
2p3t
T
) + ...
1周期　積分する。 　(積分区間は0からTでも-T/2からT/2でもどっちでもいい件)
∫0Tf(t) cos(
2p3t
T
) dt =　a0 ∫0T cos(
2p3t
T
) dt + a1 ∫0Tcos(
2pt
T
) cos(
2p3t
T
) dt + a2 ∫0Tcos(
2p2t
T
) cos(
2p3t
T
) dt + a3 ∫0Tcos(
2p3t
T
) cos(
2p3t
T
) dt + ...








+ am ∫0Tcos(
2pmt
T
) cos(
2p3t
T
) dt + ...






+ b1 ∫0Tsin(
2pt
T
) cos(
2p3t
T
) dt + b2 ∫0Tsin(
2p2t
T
) cos(
2p3t
T
) dt + b3 ∫0Tsin(
2p3t
T
) cos(
2p3t
T
) dt + ...








+ bm ∫0Tsin(
2pmt
T
) cos(
2p3t
T
) dt + ...
すると 右辺最初の a0の項は cos(
2p3t
T
) を0からTまで ３周期 積分するので ０、
次のa1の項も m≠nの場合の ∫0Tcos(
2pmt
T
) cos(
2pnt
T
) dt なので０、
次のa2の項も ０、
次のa3の項だけは m=nの場合の ∫0Tcos(
2pmt
T
) cos(
2pnt
T
) dt なので a3かける
T
2
となり、他は全部０。
bのついた項は ∫0Tsin(
2pmt
T
) cos(
2pnt
T
) dt の形なので全て０。
よって、
∫0Tf(t) cos(
2p3t
T
) dt =　 0 + 0 + 0 + a3
T
2
+ 0 + 0 + 0 + 0 + ...
よって、
a3 =
2
T
∫0Tf(t) cos(
2p3t
T
) dt
同様に
am =
2
T
∫0Tf(t) cos(
2pmt
T
) dt
bm =
2
T
∫0Tf(t) sin(
2pmt
T
) dt
ただし、ｍ＝０の場合だけは特別で、 元の式をそのまま１周期積分すると ∫0Tf(t) dx = a0 ∫0T cos(0) dx = a0 ∫0T 1 dx = a0 T なので
a0 =
1
T
∫0Tf(t) dt
このようにして求めた係数 a0, a1, a2,..., am, b1, b2,..., bm, を最初の式に代入すれば､
周期関数 f(t) を正弦波の組み合わせの形に書くことができる。

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