東北工業大学 工学部情報通信工学科 中川研究室


離散フーリエ変換（DFT)

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フーリエ級数展開		 周期 T で繰り返す周期関数 f(x) のフーリエ級数展開は
f(x)〜a0 + a1 cos(2px/T) + a2 cos(4px/T) + a3 cos(6px/T) + ... + am cos(2pmx/T) + ...
　　　　　 + b1 sin(2px/T) + b2 sin(4px/T) + b3 sin(6px/T) + ... + bm sin(2pmx/T) + ...
です。 a0 , a1 , a2 , ... をうまく選ぶと、元の波形を再現できるのでは、と思われます。
元の波形f(x)が
式で
与えられている時
ここに出てくる係数は
a0 = (1/T) ∫0T f(x) dx
am = (2/T) ∫0T f(x) cos(2mpx/T)dx
bm = (2/T) ∫0T f(x) sin(2mpx/T)dx 　で求められます。

これは、f(x)

に sin(2mpx/T) をかけたもの
こんなの→ を１周期積分する (そのあと2/Tをかける) ということです。
f(x)が式でなく
データで
与えられている時

f(x)が式でなくｄ秒間隔のデータで与えられている時は、
f(x)は

こんな感じなので、sin(2mpx/T) をかけた結果も、
こんな感じにｄ秒おきの「飛び飛び」になっています。

これじゃ積分できないので、定積分＝面積　を思い出し、長方形の積分の和で代用しましょう。

データが d秒間隔なので、長方形の横幅は d,
高さは f(x)sin(2mpx/T) です。

時刻 x は、x=0, x=d, x=2d, x=3d, ... のように増えていきます。
k番目のデータfk の時刻は x = k d になります。

１周期T秒までのデータの個数がN個なら
（データ0番から N-1番まででN個）
　　　　　　　　T = N d

よって k番目の長方形の面積は
　　　　　　　　fk sin(2mp kd / Nd ) d
これを0番からN-1番まで全部足して(2/T)をかければ
元の式 bm = (2/T ) ∫0T f(x) sin(2mpx / T ) dx　が
　 bm = (2/Nd) Σk=0N-1 fk sin(2mp kd / Nd ) d　になります。
約分して
　 bm = (2/N ) Σk=0N-1 fk sin(2mp k / N )
　 am = (2/N ) Σk=0N-1 fk cos(2mp k / N )
　 a0 = (1/N ) Σk=0N-1 fk
結局、
a0 を求めるには fk (kは0, 1, 2, ...) の値をk=0 から k=N-1まで全部足して(1/N) をかければよく、
am を求めるには fk の値にcos(2mpk/N) をかけたものを全部足して(2/N) をかければよく、
bm を求めるには fk の値にsin(2mpk/N) をかけたものを全部足して(2/N) をかければよい、
ということになります。これならプログラムできそう。


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