東北工業大学 工学部情報通信工学科 中川研究室


離散フーリエ変換（DFT)

前のページから
a0 = (1/N) Σk=0N-1｛　fk ｝

am = (2/N) Σk=0N-1｛ fk cos(2mpk/N) ｝
実例！
N=8個のとき		 8個で１セットのデータの場合をやってみましょう。
N=8 なので
a0 = (1/8) ｛ f0 + f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 ｝

a1 = (2/8)｛ f0cos(0) + f1cos(2・1p/8) + f2cos(2・1p・2/8) + f3cos(2・1p・3/8) + f4cos(2・1p・4/8) + f5cos(2・1p・5/8) + f6cos(2・1p・6/8) + f7cos(2・1p・7/8) ｝

= (1/4) { f0cos( 0) + f1cos( 45°) + f2cos( 90°) + f3cos( 135°) + f4cos( 180°) + f5cos( 225°) + f6cos( 270°) + f7cos( 315°) ｝

= (1/4) { f0・1 + f1・0.707 + f2・0 + f3・(-0.707) + f4・(-1) + f5・(-0.707) + f6・0 + f7・0.707 ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　45°ずつ 増えていくね

a2 = (2/8)｛ f0cos(0) + f1cos(2・2p/8) + f2cos(2・2p・2/8) + f3cos(2・2p・3/8) + f4cos(2・2p・4/8) + f5cos(2・2p・5/8) + f6cos(2・2p・6/8) + f7cos(2・2p・7/8) ｝

= (1/4) { f0cos( 0) + f1cos( 90°) + f2cos( 180°) + f3cos( 270°) + f4cos( 360°) + f5cos( 450°) + f6cos( 540°) + f7cos( 630°) ｝

= (1/4) { f0cos( 0) + f1cos( 90°) + f2cos( 180°) + f3cos( 270°) + f4cos( 0°) + f5cos( 90°) + f6cos( 180°) + f7cos( 270°) ｝

= (1/4) { f0・1 + f1・0 + f2・(-1) + f3・0 + f4・1 + f5・0 + f6・(-1) + f7・0 ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　90°ずつ 増えていく

a3 = (2/8)｛ f0cos(0) + f1cos(2・3p/8) + f2cos(2・3p・2/8) + f3cos(2・3p・3/8) + f4cos(2・3p・4/8) + f5cos(2・3p・5/8) + f6cos(2・3p・6/8) + f7cos(2・3p・7/8) ｝

= (1/4) { f0cos( 0) + f1cos( 135°) + f2cos( 270°) + f3cos( 405°) + f4cos( 540°) + f5cos( 675°) + f6cos( 810°) + f7cos( 945°) ｝

= (1/4) { f0cos( 0) + f1cos( 135°) + f2cos( 270°) + f3cos( 45°) + f4cos( 180°) + f5cos( 315°) + f6cos( 90°) + f7cos( 225°) ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　135°ずつ 増えてる

a4 = (1/8)｛ f0cos(0) + f1cos(2・4p/8) + f2cos(2・4p・2/8) + f3cos(2・4p・3/8) + f4cos(2・4p・4/8) + f5cos(2・4p・5/8) + f6cos(2・4p・6/8) + f7cos(2・4p・7/8) ｝

= (1/8) { f0cos( 0) + f1cos( 180°) + f2cos( 360°) + f3cos( 540°) + f4cos( 720°) + f5cos( 900°) + f6cos( 1080°) + f7cos( 1260°) ｝

= (1/8) { f0cos( 0) + f1cos( 180°) + f2cos( 0°) + f3cos( 180°) + f4cos( 0°) + f5cos( 180°) + f6cos( 0°) + f7cos( 180°) ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　180°ずつ 増えてる
m は
何番まで？		 ここまで a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , と求めてきましたが、 am の m って、何番まで行くんでしょう？

ためしにもう一声
a5 = (2/8)｛ f0cos(0) + f1cos(2・5p/8) + f2cos(2・5p・2/8) + f3cos(2・5p・3/8) + f4cos(2・5p・4/8) + f5cos(2・5p・5/8) + f6cos(2・5p・6/8) + f7cos(2・5p・7/8) ｝

= (1/4) { f0cos( 0) + f1cos( 225°) + f2cos( 450°) + f3cos( 675°) + f4cos( 900°) + f5cos( 1125°) + f6cos( 1350°) + f7cos( 1575°) ｝

= (1/4) { f0cos( 0) + f1cos( 225°) + f2cos( 90°) + f3cos( 315°) + f4cos( 180°) + f5cos( 45°) + f6cos( 270°) + f7cos( 135°) ｝



225°ずつ 増えてるんですが、225°って、逆から回った -135°と同じですよね。てことは

= (1/4) { f0cos( 0) + f1cos( -135°) + f2cos( -270°) + f3cos( -45°) + f4cos( -180°) + f5cos( -315°) + f6cos( -90°) + f7cos( -225°) ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　と書いても同じわけです。
　　cos( )の値は角度がプラスでもマイナスでも同じなことを思い出すと、これって、 a3と そっくり同じですよね！

さらにやってみました
a6 = (2/8)｛ f0cos(0) + f1cos(2・6p/8) + f2cos(2・6p・2/8) + f3cos(2・6p・3/8) + f4cos(2・6p・4/8) + f5cos(2・6p・5/8) + f6cos(2・6p・6/8) + f7cos(2・6p・7/8) ｝
　　　　　　　　　　　2p・6/8 つまり　270°ずつ 増えてるんですが、これって、逆から回った -90°と同じなので、 　a6 = a2　ってことですね。

しつこくやってみました
a7 = (2/8)｛ f0cos(0) + f1cos(2・7p/8) + f2cos(2・7p・2/8) + f3cos(2・7p・3/8) + f4cos(2・7p・4/8) + f5cos(2・7p・5/8) + f6cos(2・7p・6/8) + f7cos(2・7p・7/8) ｝
　　　　　　　　　　　2p・7/8 つまり　315°ずつ 増えてるんですが、これって、逆から回った -45°と同じなので、 　a7 = a1　ってことです。

bmなら、sin(225°) = -sin(135°), sin(270°) = -sin( 90°), sin(315°) = -sin(45°) なので　 b5 = -b3 , b6 = -b2 , b7 = -b1 となることがわかります。
パワー am2 + bm2 なら、まったくおなじになるよね。
教訓： データ個数N=8個の時は、フーリエ係数 am , bm のm は4番まで！（データ個数Nの半分まで！）
それ以上やっても、戻ってくるだけなんです。。
スペクトル描いても、鏡に写したようになるだけです。。（だから、真ん中m=個数/2で止めてください）

なお、真ん中a4の1/8 はまちがいじゃないです。 m=0 の時だけでなく、 m= N/2 の時も、最初のとこを(1/N)にしないといけなかったのです。 (理由はここ)

戻る

◆中川研HOME