さいしょに、わざと 右辺の e^-t をなくしてｙだけにした式
y ' +2 y = 0
を解きます。
( y'= -2y と書けば 一斉にyの１次だから、これを斉次式と呼びます)

両辺に -2y 足して
y ' =-2 y
y ' を dy/dt と直して、 y と dy を左辺に、dt を右辺に集めて、
(1/y) dy = -2 dt
左辺は ｙ で、右辺は t で、それぞれ積分すればいいですよね。
log _e | y | = -2t + c
対数を戻すと
| y | =　exp( -2t + c )
exp( -2t + c )っていうのは e ^{( -2t + c )}ってことです。
y =　+ - e ^-2t e ^c
ここで　c は任意定数なので e ^c 　は任意の正の定数、
+ - がつくから + - e ^c は任意の定数、
なのでこれを別の任意定数 C と置きなおすと
y = C e ^-2t

これが y ' +2 y = 0　の解です。

さっき求めた解 y = C e ^-2t の定数 C の部分を
t によって変化する 関数 u(t) と置き直して
y = u(t) e ^-2t　と書き、
これを
y ' +2 y = e^-t に代入します。

いい感じに e ^-2t のところが消えて u(t) ' だけが残るから、 積分してu(t) を求めます。

u(t) が求められたら
y = u(t) e ^-2t　に代入すればｙの式の完成です。

（この方法を定数変化法といいます）