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たたみこみの計算の練習です。
f( t ) = cos( kt ) と g( t ) = sin( kt ) のたたみこみを求めなさい。（kは定数）
f( t ) と g( t )とのたたみこみ f * g の定義は
f * g ＝ ∫τ = 0τ = t f( t - τ ) g( τ ) dτ
ですから、ただ代入して計算すればいいだけです。
f( t ) = cos( kt ) という関数は
f( ) = cos( k（ ）) という意味ですから
f( t - τ ) = cos( k( t - τ ) ） です。
一方、
g( t ) = sin( kt ) ですから
g( τ ) = sin( kτ ) ですね。
よって
f * g ＝
∫τ = 0τ = t
cos( k( t - τ ) ）
sin( kτ ) dτ
ここにでてきた
cos( k( t - τ ) ） sin( kτ ) は
高校で習った sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
sin(A-B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B) などを使うと
｛ sin( A+B ) -sin( A-B ) ｝/2 の形、
つまり
{ sin( kt )- sin( k(t - 2τ) ) }/2
と書き直せるので
f * g ＝
∫τ = 0τ = t
｛ sin( kt ) -sin( kt - 2kτ ) ｝/2 dτ
を積分すればいいですね。
積分の中では、変数は τ だけで、 t は定数扱いということに気をつけて下さい。
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