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流体の運動方程式の導出
高校で習う、質量$m$の小物体の運動方程式は
\begin{align}\begin{aligned}
m a = 力F
\end{aligned}\end{align}
加速度$a$は速度$v$を時間$t$で微分したものだから
\begin{align}\begin{aligned}
m {dv \over dt} = F
\end{aligned}\end{align}
質量$m$の小物体の速度なら、
時間$t$だけの関数$v(t)$なので
微分は時間だけの微分
$\displaystyle {d v(t) \over dt} $でよいですが、
水や空気やプラズマ流の「速度」といった場合は、
時間だけでなく場所によっても変わる速度
$v(t,x,y,z)$なので、
それぞれの変化$dt,dx,dy,dz$による速度変化$dv$は
$\displaystyle dv =
{\partial v \over \partial t} dt
+{\partial v \over \partial x} dx
+{\partial v \over \partial y} dy
+{\partial v \over \partial z} dz
$
となります。
（参考：全微分
$\displaystyle df =
{\partial f \over \partial t} dt
+{\partial f \over \partial x} dx
+{\partial f \over \partial y} dy
+{\partial f \over \partial z} dz
$
)
これをさらに時間$t$で微分すると（1年後期の解析II）
$\displaystyle {dv \over dt}=
{\partial v \over \partial t} {dt \over dt}
+{\partial v \over \partial x} {dx \over dt}
+{\partial v \over \partial y} {dy \over dt}
+{\partial v \over \partial z} {dz \over dt}
$
となりますが
ここで当然
$\displaystyle {dt \over dt} =1$、
$\displaystyle {dx \over dt} = v_x$、
$\displaystyle {dy \over dt} = v_y$、
$\displaystyle {dz \over dt} = v_z$ なので
$\displaystyle {dv \over dt}=
{\partial v \over \partial t}
+ v_x {\partial v \over \partial x}
+ v_y {\partial v \over \partial y}
+ v_z {\partial v \over \partial z}
$
だから運動方程式は
\begin{align}\begin{aligned}
m (
{\partial v \over \partial t}
+ v_x {\partial v \over \partial x}
+ v_y {\partial v \over \partial y}
+ v_z {\partial v \over \partial z}) = F
\end{aligned}\end{align}
変化するのは$y$方向だけで
$x$方向や$z$方向に進んでも変化しないと仮定する場合は
${\partial v \over \partial x} =0$、
${\partial v \over \partial y} =0$なので
運動方程式は
\begin{align}\begin{aligned}
m (
{\partial v \over \partial t}
+ v_y {\partial v \over \partial y}) = F
\end{aligned}\end{align}
本当は３成分あって
\begin{align}\begin{aligned}
m (
{\partial v_x \over \partial t}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}) &= F_x\\
m (
{\partial v_y \over \partial t}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}) &= F_y\\
m (
{\partial v_z \over \partial t}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}) &= F_z
\end{aligned}\end{align}
3つまとめてかくなら
\begin{align}\begin{aligned}
m (
{\partial {\vec v} \over \partial t}
+ v_y {\partial {\vec v} \over \partial y}) = {\vec F}
\end{aligned}\end{align}
つぎに質量$m$ですが、
プラズマを、水や空気のような流体として扱う場合、
１個、２個、、と数えないで、流体を
微小体積に小分けにして、
その体積にその場の数密度$n$とプラズマ粒子(イオンとか電子）1個の質量$m_i$や$m_e$を掛けて
質量$m$にします。微小体積を１として
$m = n_i m_i $ (イオン）または
$m = n_i m_i $ (電子）
\begin{align}\begin{aligned}
n_i m_i (
{\partial {\vec v}_i \over \partial t}
+ v_{iy} {\partial {\vec v}_i \over \partial y}) = {\vec F}_i\\
n_e m_e (
{\partial {\vec v}_e \over \partial t}
+ v_{ey} {\partial {\vec v}_e \over \partial y}) = {\vec F}_e\\
\end{aligned}\end{align}
プラズマ流体に働く力${\vec F}$は、微小体積に働く
圧力勾配$-{\vec \nabla}P$ (高圧から低圧に向かうのでマイナスがついてる）
と、微小体積にある電荷の合計$n_i q$ や$-n_e q$にかかる電気力
$n_i q {\vec E}$または
$-n_e q {\vec E}$なので
\begin{align}\begin{aligned}
n_i m_i (
{\partial {\vec v}_i \over \partial t}
+ v_{iy} {\partial {\vec v}_i \over \partial y}) = -{\vec \nabla}P_i + n_iq{\vec E}\\
n_e m_e (
{\partial {\vec v}_e \over \partial t}
+ v_{ey} {\partial {\vec v}_e \over \partial y}) = -{\vec \nabla}P_e - n_eq{\vec E}
\end{aligned}\end{align}
ウェイクに侵入する方向（$y$方向）の速度$v_y$を知りたいので、今必要なのは
$y$成分だけ：
\begin{align}\begin{aligned}
n_i m_i (
{\partial \over \partial t} v_{iy}
+ v_{iy} {\partial \over \partial y} v_{iy}
) & =
- {\partial \over \partial y} P_{i} + n_i q E_y \\
n_e m_e (
{\partial \over \partial t} v_{ey}
+ v_{ey} {\partial \over \partial y} v_{ey}
) & =
- {\partial \over \partial y} P_{e} - n_e q E_y
\end{aligned}\tag{A1}\end{align}
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