自己相似解の導出

流体の運動方程式の導出 高校で習う、質量 $m$ の小物体の運動方程式は $\begin{align}\begin{aligned} m a =　力F \end{aligned}\end{align}$ 加速度 $a$ は速度 $v$ を時間 $t$ で微分したものだから $\begin{align}\begin{aligned} m {dv \over dt} =　F \end{aligned}\end{align}$ 質量 $m$ の小物体の速度なら、時間 $t$ だけの関数 $v(t)$ なので 微分は時間だけの微分 $\displaystyle {d v(t) \over dt}$ でよいですが、 水や空気やプラズマ流の「速度」といった場合は、 時間だけでなく場所によっても変わる速度 $v(t,x,y,z)$ なので、 それぞれの変化 $dt,dx,dy,dz$ による速度変化 $dv$ は $\displaystyle dv = {\partial v \over \partial t} dt +{\partial v \over \partial x} dx +{\partial v \over \partial y} dy +{\partial v \over \partial z} dz$ となります。 （参考：全微分 $\displaystyle df = {\partial f \over \partial t} dt +{\partial f \over \partial x} dx +{\partial f \over \partial y} dy +{\partial f \over \partial z} dz$ ) これをさらに時間 $t$ で微分すると（1年後期の解析II） $\displaystyle {dv \over dt}= {\partial v \over \partial t} {dt \over dt} +{\partial v \over \partial x} {dx \over dt} +{\partial v \over \partial y} {dy \over dt} +{\partial v \over \partial z} {dz \over dt}$ となりますが ここで当然 $\displaystyle {dt \over dt} =1$ 、 $\displaystyle {dx \over dt} = v_x$ 、 $\displaystyle {dy \over dt} = v_y$ 、 $\displaystyle {dz \over dt} = v_z$ なので $\displaystyle {dv \over dt}= {\partial v \over \partial t} + v_x {\partial v \over \partial x} + v_y {\partial v \over \partial y} + v_z {\partial v \over \partial z}$ だから運動方程式は $\begin{align}\begin{aligned} m ( {\partial v \over \partial t} + v_x {\partial v \over \partial x} + v_y {\partial v \over \partial y} + v_z {\partial v \over \partial z}) = F \end{aligned}\end{align}$ 変化するのは $y$ 方向だけで $x$ 方向や $z$ 方向に進んでも変化しないと仮定する場合は ${\partial v \over \partial x} =0$ 、 ${\partial v \over \partial y} =0$ なので 運動方程式は $\begin{align}\begin{aligned} m ( {\partial v \over \partial t} + v_y {\partial v \over \partial y}) = F \end{aligned}\end{align}$ 本当は３成分あって $\begin{align}\begin{aligned} m ( {\partial v_x \over \partial t}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}) &= F_x\\ m ( {\partial v_y \over \partial t}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}) &= F_y\\ m ( {\partial v_z \over \partial t}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}) &= F_z \end{aligned}\end{align}$ 3つまとめてかくなら $\begin{align}\begin{aligned} m ( {\partial {\vec v} \over \partial t} + v_y {\partial {\vec v} \over \partial y}) = {\vec F} \end{aligned}\end{align}$ つぎに質量 $m$ ですが、 プラズマを、水や空気のような流体として扱う場合、１個、２個、、と数えないで、流体を微小体積に小分けにして、その体積にその場の数密度 $n$ とプラズマ粒子(イオンとか電子）1個の質量 $m_i$ や $m_e$ を掛けて質量 $m$ にします。微小体積を１として $m = n_i m_i$ (イオン）または $m = n_i m_i$ (電子） $\begin{align}\begin{aligned} n_i m_i ( {\partial {\vec v}_i \over \partial t} + v_{iy} {\partial {\vec v}_i \over \partial y}) = {\vec F}_i\\ n_e m_e ( {\partial {\vec v}_e \over \partial t} + v_{ey} {\partial {\vec v}_e \over \partial y}) = {\vec F}_e\\ \end{aligned}\end{align}$ プラズマ流体に働く力 ${\vec F}$ は、微小体積に働く圧力勾配 $-{\vec \nabla}P$ (高圧から低圧に向かうのでマイナスがついてる）と、微小体積にある電荷の合計 $n_i q$ や $-n_e q$ にかかる電気力 $n_i q {\vec E}$ または $-n_e q {\vec E}$ なので $\begin{align}\begin{aligned} n_i m_i ( {\partial {\vec v}_i \over \partial t} + v_{iy} {\partial {\vec v}_i \over \partial y}) = -{\vec \nabla}P_i + n_iq{\vec E}\\ n_e m_e ( {\partial {\vec v}_e \over \partial t} + v_{ey} {\partial {\vec v}_e \over \partial y}) = -{\vec \nabla}P_e - n_eq{\vec E} \end{aligned}\end{align}$ ウェイクに侵入する方向（ $y$ 方向）の速度 $v_y$ を知りたいので、今必要なのは $y$ 成分だけ： $\begin{align}\begin{aligned} n_i m_i ( {\partial \over \partial t} v_{iy} + v_{iy} {\partial \over \partial y} v_{iy} ) & = - {\partial \over \partial y} P_{i} + n_i q E_y \\ n_e m_e ( {\partial \over \partial t} v_{ey} + v_{ey} {\partial \over \partial y} v_{ey} ) & = - {\partial \over \partial y} P_{e} - n_e q E_y \end{aligned}\tag{A1}\end{align}$ 自己相似解の導出へ

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