f(x) = e^x を x=0 の周りでテイラー展開

\begin{align} e^{ x } \ \ &= 1 + {1 \over 1!} \ x \ \ + {1 \over 2!} \ x^2 \ \ + {1 \over 3!} \ x^3 \ \ + {1 \over 4!} \ x^4 \ \ + {1 \over 5!} \ x^5 \ \ + {1 \over 6!} \ x^6 \ \ + {1 \over 7!} \ x^7 \ \ + ... \end{align}

x のところを記入欄（　）にすると

\begin{align} e^{( \ \ \ \ )} &= 1 + {1 \over 1!} (\ \ \ \ ) + {1 \over 2!} (\ \ \ \ )^2 + {1 \over 3!} (\ \ \ \ )^3 + {1 \over 4!} (\ \ \ \ )^4 + {1 \over 5!} (\ \ \ \ )^5 + {1 \over 6!} (\ \ \ \ )^6 + {1 \over 7!} (\ \ \ \ )^7 + ... \end{align}

記入欄に ( ix ) を記入してみると

\begin{align} e^{( ix )} &= 1 + {1 \over 1!} (ix ) + {1 \over 2!} (\ i x \ )^2 + {1 \over 3!} (\ i x \ )^3 + {1 \over 4!} (\ i x \ )^4 + {1 \over 5!} (\ i x \ )^5 + {1 \over 6!} (\ i x \ )^6 + {1 \over 7!} (\ i x \ )^7 + ... \\ &= 1 + {1 \over 1!} (ix ) + {1 \over 2!} (i^2x ^2 ) + {1 \over 3!} (i^3x ^3 ) + {1 \over 4!} (i^4x ^4 ) + {1 \over 5!} (i^5x ^5 ) + {1 \over 6!} (i^6x ^6 ) + {1 \over 7!} ( i^7x ^7 ) + ... \end{align}

$ i^2 = -1$ を使うと

\begin{align} e^{ ix } &= 1 + {1 \over 1!} (ix ) + {1 \over 2!} (-x^2) + {1 \over 3!} (-ix^3) + {1 \over 4!} x ^4 \ \ \ + {1 \over 5!} (i x^5 \ ) + {1 \over 6!} (- x ^6) + {1 \over 7!} (-i x ^7) + ... \end{align}

$ i$ があるところ（虚数）とないところ（実数）にわけると

\begin{align} e^{ ix } &= 1 & \ &-{1 \over 2!} x^2 & \ &+ {1 \over 4!} x ^4 & \ &- {1 \over 6!} x ^6 & + ...\\ & \ &+i {1 \over 1!} x & \ &-i {1 \over 3!} x^3 & \ &+i {1 \over 5!} x^5 & \ &-i {1 \over 7!} x ^7 & + ...\\ \end{align}

$ i$ でまとめて

\begin{align} e^{ ix } &= \{1 & \ & -{1 \over 2!} x^2 & \ &+ {1 \over 4!} x ^4 & \ &- {1 \over 6!} x ^6 & + ... \} \\ & \ &+i \{ {1 \over 1!} x & \ &-{1 \over 3!} x^3 & \ &+{1 \over 5!} x^5 & & -{1 \over 7!} x ^7 \ + ...\} \\ \end{align}

上の段、下の段はそれぞれ何のテイラー展開かというと.... (p72)

${\Large e^ {ix } = \{\ \cos{ x } \ \}+ i \{\ \sin{ x } \ \} } $

オイラーの公式