解析 I 三角関数の微分の復習

$f(x) = \tan{(5x)}$ の導関数を求めよ: 導関数は; $\begin{align}f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\end{align}$; $f( x ) = \tan{(5x)}$ の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
$f(　) = \tan{(5(\quad )　)\ }$ と書き、

$f( x+{h } ) = \tan{(5(x+h ) )\ }$

これを代入
$\begin{align} f'(x) &=& \lim_{h \rightarrow 0}　 \frac{\quad f( x+{h } )　 - f(x)　}{h } \\ \\ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \tan{(5(x+h) )\ } - \tan{(5x)} }{h } \\ \\ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \tan{(5x+5h) \ } - \tan{(5x)} }{h } \end{align}$
$\displaystyle \tan{( \quad )} = \frac{\sin{(\quad)}}{\cos{(\quad)}}$ なので、 $\begin{align}f'(x) &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac { \frac{\sin{(5x+5h)}}{\cos{(5x+5h)}}　- \frac{\sin{(5x)}}{\cos{(5x)}} } {h } \end{align}$
分数の中の分数は書くのが大変なので、
分子を｛　　｝で囲って後ろに下します。
$\begin{align}f'(x) &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \{ \frac{\sin{(5x+5h)}}{\cos{(5x+5h)}} - \frac{\sin{( 5x )}}{\cos{( 5x )}} \} \end{align}$
通分してください。分母を揃えるため
前半には $\cos{(5x)}$ 後半には $\cos{(5x+5h)}$ をかけ
$\begin{align}f'(x) &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \{ \frac{\sin{(5x+5h)}\cos{(5x)} }{\cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }　 - \frac{\cos{(5x+5h)}\sin{(5x)} }{\cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} } \} \\ \\ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \{ \frac{\sin{(5x+5h)}\cos{(5x)} - \cos{(5x+5h)}\sin{(5x)}}{\cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }　 \} \end{align}$
ここで分子を音読、 $(5x+5h)$ を A, $5x$ をBとおいたときの $\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}$ ＝ $\sin(A-B)$ なので
$\begin{align}f'(x) &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \frac{ \sin{\{(5x+5h) - 5x \}}}{\cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} } \end{align}$
引き算して整理 $\begin{align}f'(x) &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin{(5h)} }{ h \cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} } \\ \\ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin{(5h)} }{ h} \frac{1}{ \cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} } \end{align}$ $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin{h} }{ h } = 1$ の形を使いたいから
分母の $h$ を分子の角度 $5h$ とそろえるため分母と分子に 5 をかけて $\begin{align}f'(x)&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{5 \sin{(5h)} }{ 5h} \frac{1}{ \cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} } \\ \\ &=& \lim_{h \rightarrow 0} 5 \cdot \frac{\sin{(5h)} }{ 5h} \frac{1}{ \cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} } \end{align}$ $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin{(5h)} }{ (5h)} = 1$ より
　　注: ここで左辺 f'(x) を書き直すことが重要！でないと直前の「=1」につながってしまう $\begin{align}f'(x)&=& 5 \cdot 1 \cdot\frac{1}{\cos{(5x+0)}\cos{5x}} \\ \\ &=& \frac{5}{(\cos{5x})^2} \quad \quad \quad \quad \\ \\ &=& \frac{5}{\cos^2{5x} } \quad \quad \quad \quad \end{align}$ まとめると $\begin{align} ( \tan{(5x)} )' = \frac{5}{\cos^2{(5x)} } \end{align}$
$f(x) = \tan{(ax)}$ の導関数を定義通りに求めよ（ただし $a$ は定数）: 惜しい
1行目 $f'(x)$ とすべきところ、導関数を表す $'$ がないと点数がないです。

最後の最後、分子に a が来ます

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解析 I 三角関数の微分の復習

f(x)=tan(5x) f(x) = \tan{(5x)} の 導関数を求めよ

f(x)=tan(ax) f(x) = \tan{(ax)} の 導関数を定義通りに求めよ （ただし aa は定数）

$f(x) = \tan{(5x)}$ の導関数を求めよ

$f(x) = \tan{(ax)}$ の導関数を定義通りに求めよ（ただし $a$ は定数）