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\( f(x) = x \sqrt{x}\) の 導関数を求めよ
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導関数は
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\begin{align}f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\end{align}
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\( f( x ) = x \sqrt{x } \) の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
\( f( ) = ( ) \sqrt{( ) \ } \) と書き、
\( f( x+{h } ) = (x+{h }) \ \sqrt{(x+{h }) \ } \)
これを代入
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\quad f( x+{h } ) - f(x) }{h }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ (x+{h }) \ \sqrt{ x+{h } \ } - x \sqrt{ x } }{h }
\end{align}
ルートのついた数どうしは
そのままでは引き算できないので
ルート外すために
上下に
\( \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \)をかけて
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{
\{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } - x \sqrt{ x }\}\cdot
\{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\}\quad
}
{\ h \cdot
\quad
\{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\}
}
\end{align}
$(a-b)(a+b)$の形なので、$a^2-b^2$の形になり
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{
\{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ }\}^2 - \{x \sqrt{ x }\}^2
}
{
h \cdot
\ \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \quad }\quad
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{
(x+{h })^2 \sqrt{ x+{h } \ }^2 - x^2 \sqrt{ x }^2
}
{
h \cdot
\ \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \quad }\quad
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{
(x+{h })^2 ( x+{h }) - x^2 x
}
{
h \cdot
\ \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \quad }\quad\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{
(x+{h })^3 - x^3
}
{
h \cdot
\ \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \quad }\quad
\end{align}
\( (x+{h })^3\) を地道に計算すると
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{
x^3 +3x^2{h }+3xh^2+ h^3 - x^3
}
{
h \cdot
\ \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \quad }\quad
\end{align}
$x^3$ から$x^3$ をひいて
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{
\quad 3x^2{h }+3xh^2+ h^3 \quad
}
{
h \cdot
\ \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \quad }\quad
\end{align}
分子はすべてに $h $ がかかっているので、これを外に出すように因数分解して
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{h \cdot
\ \{ 3x^2 + 3x h + h^2 \} \quad }
{
h \cdot
\ \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \quad }\quad
\end{align}
外の $h $ を約分して
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{1 \cdot \{ \quad 3x^2 + 3x h + h^2 \} \quad }
{
1 \cdot \{(x+{h }) \sqrt{ x+{h } \ } + x \sqrt{ x }\} \quad }\quad
\end{align}
分母に単体の $h $ がなくなったので、
\( h \rightarrow 0 \) を実行 （ここからlimなし）
\begin{align}f'(x)
&=&\frac
{ 3x^2 + 3x \cdot 0 + 0 \quad }
{ (x+ 0 ) \sqrt{ x+ 0 \ } + x \sqrt{ x } \quad }\quad
\\
\\
&=&\frac
{ \quad 3x^2 + 0 + 0 \quad \quad \quad}
{ x \sqrt{ x \ } + x \sqrt{ x } \quad }\quad \quad
\\
\\
&=&\frac
{ 3x^2 }{ 2 x \sqrt{ x \ } }\quad \quad \quad
\\
\\
&=&\frac
{ 3x\cdot x}{ 2 x \sqrt{ x \ } }\quad \quad \quad
\end{align}
$x$で約分して
\begin{align}f'(x) &=&\frac
{ 3x }{ 2 \sqrt{ x \ } }
\\
\\
&=&\frac
{ 3\sqrt{ x \ }\sqrt{ x \ } }{ 2 \sqrt{ x \ } }
\end{align}
$\sqrt{ x \ }$で約分して
\begin{align}f'(x)
&=&\frac
{ 3\sqrt{ x \ } }{ 2 }\quad
\end{align}
これで完成です。まとめると、
\( f(x) = x \sqrt{x}\) の 導関数は
\begin{align}f'(x) = \frac
{ 3\sqrt{ x \ } }{ 2 }\quad \end{align}
これを
\begin{align}
(\ x \sqrt{x}\ )' = \frac
{ 3\sqrt{ x \ } }{ 2 }
\end{align}
とかきます。
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