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\( f(x) = \sin{x}\) の 導関数を求めよ
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導関数は
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\begin{align}f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\end{align}
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\( f( x ) = \sin{x } \) の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
\( f( ) = \sin{( )\ } \) と書き、
\( f( x+{h } ) = \sin{(x+h ) \ } \)
これを代入
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\quad f( x+{h } ) - f(x) }{h }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin{(x+h ) \ } - \sin{( x )} }{h }
\end{align}
さて、サイン同士の引き算は、角度を引き算してはいけないですよね。
例、$\sin{60^\circ} -\sin{30^\circ}$ は $\sin{(60^\circ -30^\circ )}$ ではありませんね。
そこで、前回勉強した皆さんは、
加法定理
$\sin{(x+h )} =\sin{x} \cos{h} + \cos{x} \sin{h} $
を
使ってみたくなるわけですが、これを代入しても
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin{x} \cos{h} + \cos{x} \sin{h} - \sin{( x )} }{h }
\end{align}
長くなっただけで、何も消えないし、何もいいことないですね。
なんで何も消えないかというと、
前半
$\sin{x} \cos{h} + \cos{x} \sin{h} $ （掛け算があって長い）と
後半
$\sin{x}$ （掛け算なし、シンプル）が全然似てないのですよね。
そうはいっても、前半は$x+h$、後半は$x$、違いがあるのは仕方ない、、、
例えていうなら、1000円＋100円と、1000円は違う、、、
ここで発想をちょっと変えて、1000円を基準に考えるのでなく
1050円を基準に考えてはどうでしょう。
前半は1050円＋50円、後半は1050円-50円。違いはあるけど形は似てる。
つまり
前半 $(x+h)$を、$(x+{h\over 2}+ {h\over 2})$
後半 $(x)\quad $を、$(x+{h\over 2}-{h\over 2})$ と考えます。
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin{(x+h ) \ } - \sin{( x )} }{h } \quad \quad \quad \quad
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ \sin{(x+{h\over 2}+ {h\over 2}) } - \sin{(x+{h\over 2}- {h\over 2}) }}
{h }
\end{align}
書くのが大変なので、
$(x+{h\over 2})$ を A, ${h\over 2}$ をBとおくと
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin{(A+B ) \ } - \sin{(A-B)} }{h } \quad \quad \quad \quad \quad
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B} - ( \sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}) }
{h }
\end{align}
分子の後半に（ ）をつけるのを忘れないことが大切です。
マイナスを分配すると
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B} - \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B} }
{h }
\end{align}
$ \sin{A}\cos{B}$ から $ \sin{A}\cos{B}$ を引いたら消えるから
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ \cos{A}\sin{B} + \cos{A}\sin{B} }
{h }
\end{align}
同じものが２つあるので当然
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ 2\cos{A}\sin{B} }
{h }
\end{align}
A、B を戻して
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ 2\cos{(x+{h\over 2})}\sin{({h\over 2})} }
{h }
\end{align}
ここで
$h \rightarrow 0 $ するわけですが、
$\cos{(x+{h\over 2})}$ はいいとして、分母の $ h $が0に行ったら困りますね。
分子の $\sin{({h\over 2})} $ も0に行きますね。
この式の分母、分子に${1\over 2}$をかけると
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{{1\over 2}\cdot 2\cos{(x+{h\over 2})}\sin{({h\over 2})} }
{({h \over2}) }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \quad \frac
{\quad \cos{(x+{h\over 2})}\sin{({h\over 2})} }
{({h \over2}) }
\end{align}
になります。
$\displaystyle
\frac
{\sin{({h\over 2})} }
{({h \over2}) }
$
がどうにかなってくれるとよいのですが
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