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位相表示 |
√3 cos( x ) + sin( x ) を
A cos( x +φ ) の形に表しなさい
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Aが振幅
φが位相
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左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
√3 cos( x ) + sin( x ) = A cos( x +φ ) とおき、
右辺に加法定理を使って
√3 cos( x ) + sin( x ) = A ( cos( x ) cosφ -sin( x ) sinφ )
Aを分配すると
√3 cos( x ) + sin( x ) = A cos( x ) cosφ - A sin( x ) sinφ
掛け算の順序は入れ替えてもいいので
√3 cos( x ) + sin( x ) = A cosφ cos( x ) - A sinφ sin( x )
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加法定理
cos(A+B)=
cosAcosB-sinAsinB
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| 恒等式なので |
両辺の cos( x ) に掛け算されているものを見比べると
| √3 |
cos( x ) + sin( x ) = |
A cosφ |
cos( x ) - A sinφ sin( x ) |
これより
A cosφ = √3
両辺の sin( x ) に掛け算されているものを見比べると
(何も書いてないってことは、1倍だから)
| √3 cos( x ) + |
1 |
sin( x ) = A cosφ cos( x ) |
- A sinφ |
sin( x ) |
これより
-A sinφ = 1
この２つの式を連立方程式にして、Aとφを求めていく。
A cosφ = √3 ....(1)
-A sinφ = 1 ....(2)
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| まず振幅A |
cosφ, sinφ を消すために
cos 2φ + sin 2φ = 1 を使いたいから
式(1)の２乗と式(2)の２乗を足すと
( A cosφ )2 + ( -A sinφ)2 = ( √3 )2 + 12
A2でまとめて
A2 ( cos2φ + sin2φ ) = 3 + 1
ここで ( cos 2φ+sin2φ)=1 だから
A2 = 4
∴ A = 2
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ふつう振幅Aは＋
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| 次に位相φ |
得られたAを(1)(2)に代入
cosφ = √3 /2 ...(3)
sinφ = -1 /2 ...(4)
この両方を満たす角度φ を考える。
cosφ = √3 /2 になるのは、φ = 30度と φ = -30度。
sinφ = -1 /2 になるのは、φ = -30度と φ = -150度。
両方に共通しているのは、φ = -30度。
ラジアンに直すと、φ = -π/6 [rad]。
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三角形の図を
描いてみてね
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| 完成 |
得られたAとφを A cos( x +φ ) の形に代入して完成
与式 = 2 cos( x - π/6 )
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