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位相表示 |
√3 cos( x ) + sin( x ) を
A sin( x +φ ) の形に表しなさい
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Aが振幅
φが位相
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左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
√3 cos( x ) + sin( x ) = A sin( x +φ ) とおき、
右辺に加法定理を使って
√3 cos( x ) + sin( x ) = A ( sin( x ) cosφ + cos( x ) sinφ )
Aを分配すると
√3 cos( x ) + sin( x ) = A sin( x ) cosφ + A cos( x ) sinφ
掛け算の順序は入れ替えてもいいので
√3 cos( x ) + sin( x ) = A cosφ sin( x ) + A sinφ cos( x )
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加法定理
sin(A+B)=
sinAcosB+cosAsinB
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| 恒等式なので |
両辺の cos( x ) に掛け算されているものを見比べると
| √3 |
cos( x ) + sin( x ) = |
A cosφ sin( x ) + |
A sinφ |
cos( x ) |
これより
A sinφ = √3
両辺の sin( x ) に掛け算されているものを見比べると
(何も書いてないってことは、1倍だから)
| √3 cos( x ) + |
1 |
sin( x ) =
| A cosφ |
sin( x ) |
+ A sinφcos( x ) |
これより
A cosφ = 1
この２つの式を連立方程式にして、Aとφを求めていく。
A sinφ = √3 ....(1)
A cosφ = 1 ....(2)
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| まず振幅A |
cosφ, sinφ を消すために
cos 2φ + sin 2φ = 1 を使いたいから
式(1)の２乗と式(2)の２乗を足すと
( A sinφ )2 + ( A cosφ)2 = ( √3 )2 + 12
A2でまとめて
A2 ( sin2φ + cos2φ ) = 3 + 1
ここで ( cos 2φ+sin2φ)=1 だから
A2 = 4
∴ A = 2
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ふつう振幅Aは＋
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| 次に位相φ |
得られたAを(1)(2)に代入
sinφ = √3 /2
cosφ = 1 /2
この両方を満たす角度φ を考える。
sinφ = √3 /2 になるのは、φ = 60度と φ = 120度。
cosφ = 1 /2 になるのは、φ = 60度と φ = -60度。
両方に共通しているのは、φ = 60度。
ラジアンに直すと、φ = π/3 [rad]。
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三角形の図を
描いてみてね
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| 完成 |
得られたAとφを A sin( x +φ ) の形に代入して完成
与式 = 2 cos( x + π/3 )
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