ラプラス変換の
計算方法 |
-
関数 cos(at) のラプラス変換
 ( cos(at) ) は、
cos(at) に e-st かけてt=0から∞まで積分したもの、です。
式で書くと
-
( cos(at) ) =
∫o∞ e-st cos(at) dt
-
です。
めんどくさくても部分積分でがんばる人は、
- =
∫o∞ e-st { sin(at) / a } ' dt
-
と考えて
- =
[ e-st sin(at) / a ]o∞
-∫o∞
{ e-st} ' { sin(at) / a } dt
- =
[ e-st sin(at) / a ]o∞
-∫o∞
(-s) e-st { sin(at) / a } dt
- =
[ e-st sin(at) / a ]o∞
+ (s/a) ∫o∞
e-st sin(at) dt
-
前半の
-
[ e-st sin(at) / a ]o∞
=
{ limt→∞
e-st sin(at) - e0sin(0) } / a = 0
-
なので
-
( cos(at) ) =
(s/a) ∫o∞
e-st sin(at) dt
-
あれっまた同じような形、
これじゃいつまでたっても、、、と思いながらも、
もう一回部分積分でがんばれば
- =
(s/a) ∫o∞ e-st { -cos(at) / a } ' dt
-
と考えて
- =
(s/a) { [ e-st (-cos(at) / a ) ]o∞
-∫o∞
{ e-st} ' { -cos(at) / a } dt
}
- =
(s/a) [ -e-st cos(at) / a ]o∞
-(s/a)
∫o∞
(-s) e-st { -cos(at) / a } dt
- =
(-s/a2) [ e-st cos(at) ]o∞
-(s2/a2)
∫o∞
e-st cos(at) dt
- =
(-s/a2) { 0 - 1 }
-(s2/a2)
∫o∞
e-st cos(at) dt
-
うーん、また戻っちゃったよ、、
とがっかりした皆さん。
戻っちゃった！？ 、、、、ということは、
右辺に出てくる
∫o∞
e-st cos(at) dt って
( cos(at) )
そのものですよね！？
つまり
-
( cos(at) )
=
s/a2
-(s2/a2)
( cos(at) )
-
左辺にまとめるっていうのはどうでしょう。
-
( cos(at) )
+(s2/a2)
( cos(at) )
=
s/a2
-
{ 1 +(s2/a2) }
( cos(at) )
=
s/a2
-
{ ( a2 +s2 ) /a2 }
( cos(at) )
=
s/a2
-
よって
-
( cos(at) )
=
s/( a2 +s2 )
-
|