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eiat = cos(at) + i sin(at)
e-iat = cos(at) - i sin(at)
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なので、
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eiat + e-iat = 2 cos(at)
- よって
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cos(at) ＝0.5 ( eiat + e-iat )
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代入 |
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これを代入すれば
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 ( cos(at) ) = 0.5
∫o∞ e-st
( eiat + e-iat)
dt
= 0.5
∫o∞ (
e-st + iat +
e-st - iat )dt
= 0.5
∫o∞ (
e(-s + ia ) t +
e(-s - ia ) t )dt
-
この積分は簡単だ
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= 0.5
[
e(-s + ia ) t /(-s+ia )
+
e(-s - ia ) t /(-s-ia ) ]o∞
= 0.5
{
(
limt→∞
e(-s + ia ) t
- e0
)
/(-s+ia )
+
(
limt→∞
e(-s - ia ) t
- e0
)
/(-s-ia ) }
= 0.5
{
(
limt→∞
e-st eiat
- 1
)
/(-s+ia )
+
(
limt→∞
e-st e-iat
- 1
)
/(-s-ia ) }
= 0.5
{
(
limt→∞
e-st (cos(at)+isin(at) )
- 1
)
/(-s+ia )
+(
limt→∞
e-st (cos(at)-isin(at) )
- 1
)
/(-s-ia ) }
-
ここで、
limt→∞
e-st cos(at)
がどうなるか考えよう。
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-1＜ cos(at) ＜ +1
-
より、
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-limt→∞e-st
＜
limt→∞e-st cos(at)
＜
limt→∞e-st
- となり、
両側の極限値は、 s＞０ならば ０に収束するので
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limt→∞
e-st cos(at) = 0
(ただしs＞0のとき）
-
同じようにして
-
limt→∞
e-st sin(at) = 0
(ただしs＞0のとき）
-
よって
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( cos(at) )
= 0.5
{
- 1/(-s+ia)
- 1/(-s-ia) }
= 0.5
{ 1/(s-ia) +
1/(s+ia) }
-
通分すると
-
= 0.5
{ (s+ia) + (s-ia) } / { (s-ia)(s+ia) }
= s/(s2 + a2 )
(ただしs＞0のとき）
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( sin(at) )
も同様にできるよ
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