( f'(t) ) = lim_t→∞e^-st f(t) - f(0) + s ( f(t) )

の、最初にある極限 lim_t→∞e^-st f(t) は
( f(t) ) が収束するような時なら、０に収束します。 なぜでしょう。

e^-st f(t) が fのラプラス変換 ( f(t) ) = ∫_o^∞　e^-st f(t) dt の積分の中身と同じとこがポイントです。

( f(t) ) が収束する、すなわち
０から無限まで積分しても値が変わらない、すなわち
e^-st f(t) 　を無限に足しても値が変わらない、ってことは、
無限のかなたでは　e^-st f(t) 　はほとんど０になってるってことだよね。

よって

( f'(t) ) = 0 - f(0) + s ( f(t) ) 　.............(微分法則）

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