f(x) のテイラー展開
f(x) 〜　 c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ...　
の係数 c0, c1, c2, c3, ...　 を求める式 cn = f(n)(a)/n!　 は どうやってでてくるのでしょう。

まず c0 を求めてみましょう。

f(x) 〜　 c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ... + cn(x-a)n + ...
の x に a を代入してみると、
f(a) 〜　 c0 + c1(a-a) + c2(a-a)2 + c3(a-a)3 + c4(a-a)4 + ... + cn(a-a)n + ...
となり、a - a =0 ですから、あっさり c0 = f(a) ということがわかりました。

次に c1 を求めてみましょう。

x にいきなりaを代入したのでは、 c1の項まで消えてしまって困りますね。
こんなとき、代入する前に一度 元の式
f(x) 〜　 c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ... + cn(x-a)n + ...
を微分して見ると
f'(x) 〜　 0 + c1 + 2 c2(x-a) + 3 c3(x-a)2 + 4 c4(x-a)3 + ... + n cn(x-a)n-1 + ...
となり、c1が(x-a)無しの形で出てきました。 ここでxにaを代入すれば
f'(a) 〜　 c1 + 2 c2(a-a) + 3 c3(a-a)2 + 4 c4(a-a)3 + ... + n cn(a-a)n-1 + ...
となり、 c1 = f'(a) ということがわかります。

さらに c2 を求めてみましょう。

元の式
f(x) 〜　 c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ... + cn(x-a)n + ...
を1回微分すると
f'(x) 〜　 0 + c1 + 2 c2(x-a) + 3 c3(x-a)2 + 4 c4(x-a)3 + ... + n cn(x-a)n-1 + ...
2回微分して見ると
f''(x) 〜　 0 + 0 + 2 c2 + 3 ・2 c3(x-a) + 4 ・3 c4(x-a)2 + ... + n ・(n-1) cn(x-a)n-2 + ...
となり、c2が(x-a)無しの形で出てきますね。 ここでxにaを代入すれば
f''(a) 〜　 0 + 0 + 2 c2 + 3 ・2 c3(a-a) + 4 ・3 c4(a-a)2 + ... + n ・(n-1) cn(a-a)n-2 + ...
となり、 c2 = f''(a)/2 ということがわかります。

しつこいですが c3 を求めてみましょう。

元の式
f(x) 〜　 c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ... + cn(x-a)n + ...
を1回微分すると
f'(x) 〜　 0 + c1 + 2 c2(x-a) + 3 c3(x-a)2 + 4 c4(x-a)3 + ... + n cn(x-a)n-1 + ...
2回微分すると
f''(x) 〜　 0 + 0 + 2 c2 + 3・2 c3(x-a) + 4・3 c4(x-a)2 + ... + n・(n-1) cn(x-a)n-2 + ...
3回微分して見ると
f'''(x) 〜　 0 + 0 + 0 + 3・2 c3 + 4・3・2 c4(x-a) + ... + n・(n-1)・(n-2)cn(x-a)n-3 + ...
となり、c3が(x-a)無しの形で出てきますね。 ここでxにaを代入すれば
f'''(a) 〜　 0 + 0 + 0 + 3・2 c3 + 4・3・2 c4(a-a) + ... + n・(n-1)・(n-2)cn(a-a)n-3 + ...
となり、 c3 = f'''(a)/(3・2) ということがわかります。

この展開を繰り返してゆくと
c0 = f(a)　　　
c1 = f'(a)
c2 = f''(a)/2　　
c3 = f'''(a)/(3･2)　　
c4 = f''''(a)/(4･3･2)　　
:
となります。これらは
c0 = f(a)　　　
c1 = f'(a)/1!　　
c2 = f''(a)/2!　　
c3 = f'''(a)/3!　　
c4 = f''''(a)/4!　　
:
のように書いても良いですよね。
それで通常
cn = f(n)(a)/n!　
のようにまとめて書いております。

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