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解析 I （7回目）ベクトルの回転

ベクトル

$\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right)$ を図示すると、

　横に 4, 縦に 2 のこういう図

ではこれは？

横に 3, 縦に 5なので
ベクトル

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array} \right)$ ですよね

ベクトル

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right)$ を図示すると

　横に 3, 縦に 0 のこんな矢印

このベクトルを、角度

$\theta$ 回転すると
(角度は

$x$ 軸から第一象限に向かう方向に測ります。)

$\begin{align} \cos{\theta }= \frac{x}{ 3} より、横 x= 3\cos{\theta}\quad \\ \sin{\theta }= \frac{y}{ 3} より、縦 y= 3\sin{\theta}\quad \end{align}$ なので回転後のベクトルは

$\left( \begin{array}{c}3\cos{\theta} \\ 3\sin{\theta} \end{array} \right)$ ですね。

ベクトル

$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$ を図示すると、

　横に 0, 縦に 5 のこういう図

このベクトルを、角度

$\theta$ 回転すると

$\begin{align} \sin{\theta }&= \frac{|x|}{ 5} より、&横 |x|= 5\sin{\theta}\quad \\ \cos{\theta }&= \frac{y}{ 5} より、&縦 y= 5\cos{\theta}\quad \end{align}$

$x$ 軸の矢印は、右に行くと

$x$ が増えることを表しています。
回転によって

$x$ は原点より左、マイナス側に行ってしまったので
横

$x= - 5\cos{\theta}$ 　なので回転後のベクトルは

$\left( \begin{array}{r}　-5\sin{\theta} \\ 5\cos{\theta} \end{array} \right)$ ですね。

では。ベクトル

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array} \right)$ を、

角度

$\theta$ 回転したらどんなベクトルになるか求めてください。

困ったらここ