| オイラーの公式 eix=cos(x)+i sin(x)
|
前のページより続く
|
-
前のページで、
( eix ) ' = i eix と書けるとしたら
eix が cos(x) と sin(x) の１次結合
-
eix = A cos(x) + B sin(x)
-
で書けることが判ったので、その定数A,Bを求めましょう。
等号[ = ]を使って書いてあるからには、
この式はどんなときも成り立つわけで、
当然 x= 0 のときも成り立つので、
x=0 を代入すると
-
e0 = A cos(0) + B sin(0)
-
e0 = 1, cos(0) =1, sin(0)=0 だから
-
∴ 1 = A + 0
|
|
|
-
また、元の式を微分すると
-
( eix )’= ( A cos(x) + B sin(x) )’
ここでまた懸案の ( eix ) ' が出ました。
( eix ) ' = i eix と書けるとしたら
i eix = - A sin(x) + B cos(x)
-
これに x= 0 を代入すると、
-
i e0 = - A sin(0) + B cos(0)
∴ i = 0 + B
-
A=1, B=i を元の式に代入すれば
-
eix = cos(x) + i sin(x)
-
これがオイラーの公式です。
実はこれが eixの定義であり、このように定義すると
ここまで仮定してきた( eix ) ' = i eixも
成り立つのでした。
懸案チェック
|
( eax ) ’= a eax
( cos(x) ) ’ = -sin(x)
( sin(x) ) ’ = cos(x)
|
|
最初のページに戻る
|
|
|