 ( ebtcos( at )) =
|
\begin{align} {s-b \over (s-b)^2+a^2} \end{align} | は知ってるけど |
| \begin{align} {s \over (s-b)^2+a^2} \end{align} | が逆変換できない |
分子に s-b がほしいんですよね？
分子が s-b になるように、bを引いてから、また足してはどうでしょう。
| \begin{align} {s \over (s-b)^2+a^2} \end{align} | = | \begin{align} {s-b + b \over (s-b)^2+a^2} \end{align} | ||
| = | \begin{align} {s-b \over (s-b)^2+a^2} \end{align} | + | \begin{align} { b \over (s-b)^2+a^2} \end{align} | |
| = |
( ebtcos( at ))
|
+ | \begin{align} {b \over a} \cdot { a \over (s-b)^2+a^2} \end{align} | |
| = |
( ebtcos( at ))
|
+ |
$\displaystyle
{b \over a}
$
( ebtsin( at ))
|
|
( e-2t) =
|
$\displaystyle {1 \over s+2} $ | は知ってるけど | $\displaystyle {1 \over 2s+1} $ | が逆変換できない |
分母が sから始まるように、2を外に出してはどうでしょう。
( e-0.5t) 部分分数分解
例１
| \begin{align} { 1 \over (s+1)(2s+1)} \end{align} | が逆変換できない |
上記「変形の工夫例４」と、部分分数分解でできます。
| \begin{align} { 1 \over (s+1)(2s+1)} \end{align} | = | \begin{align} {1\over 2} \cdot { 1 \over (s+1)(s+0.5)} \end{align} |
| = | \begin{align} {1\over 2} {1\over (\quad 0.5 \quad)} \{ { 1 \over (s+0.5)} - {1 \over (s+1) } \} \end{align} | |
| = | ( e-0.5t )
- ( e-t ) |
部分分数分解
例２
|
( cos( at ) ) =
|
\begin{align} {s \over s^2+a^2} \end{align} | は知ってるけど | \begin{align} {s \over s^2 -a^2} \end{align} | が逆変換できない |
一見、似てるようですが、
( cos( at ) ) は使いません。分母が因数分解できるので、部分分数に分けます。
| \begin{align} {s \over s^2 -a^2} \end{align} | = | \begin{align} s \cdot {1 \over (s -a) (s+a)} \end{align} |
| = | \begin{align} s \cdot {1 \over ( 2a ) } \{ {1 \over (s -a)}-{1\over (s+a)} \} \end{align} | |
| = | \begin{align} {1 \over 2a } \{ {s \over (s -a)}-{s\over (s+a)} \} \end{align} | |
| = | \begin{align} {1 \over 2a } \{ {s-a+a \over (s -a)}-{s+a-a\over (s+a)} \} \end{align} | |
| = | \begin{align} {1 \over 2a } \{ 1 + {a \over (s -a)}-( 1 -{a\over (s+a)} ) \} \end{align} | |
| = | \begin{align} {1 \over 2a } \{ {a \over (s -a)} +{a\over (s+a)} ) \} \end{align} | |
| = | \begin{align} {1 \over 2 } \{ {1 \over (s -a)} +{1 \over (s+a)} ) \} \end{align} | |
| = |
$\displaystyle {1 \over 2} $
{
( eat )
+
( e-at )
} |