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前のページより続く
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ラプラス変換同士の掛け算は、前のページの計算でこうなってました
 ( f )
( g )
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=
∫y=o∞
∫x=o∞
e-s(x+y) f(x) g(y) dx dy
-
e-s(x+y) f(x) g(y)
という関数を、x:0 →∞, y:0 →∞ という２次元空間で重積分しています。
解析とか微積の授業で習ったと思いますが､ふつうの関数の場合は、積分の順序を
逆にしたって構いませんし､変数を変換しても良いです。
ここでは、内側の積分を、
指数関数 e-s(x+y) の肩に乗ってる (x+y) に着目して､
x+y = t
と変数変換してみましょう。
いままで、２次元空間の点を x と y で表していたところを､
x+y と y で表す、ってかんじです。
内側の積分を
する間は､外側のｙは一定と考えるので、
x + y(一定) = t
の両辺を微分して dx = dt, また
x: 0 →∞ のとき
t: y →∞
となります。これで書きかえると
( f )
( g )
-
=
∫y=o∞
∫t=y∞
e-s t f(t -y) g(y) dt dy
-
出来上がった式をしみじみ見ますと､
まず
e-s t f(t -y) g(y)
という関数を、まず tの下限y から無限大まで積分し、
それを y=0 の場合から 無限大まで積分することになります。
y=0 のときは tは 0 →∞
y=1 のときは tは 1 →∞
y=2 のときは tは 2 →∞
y=3 のときは tは 3 →∞
：
というかんじに、ｙによってt の積分域の下限がじわじわと上がっていきます。
横軸に t, 縦軸に y をとった空間で言うと､
原点を通る傾き１の直線 y= t を描いて､その下側のエリアを、
tについて横に横に積分して､それをあとでyについて縦に積むイメージです。
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教科書に
図が載ってる
かもね
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積分順序入替
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これを､同じエリア内で、先にyについて積分して､それをｔについて並べるイメージで
積分順序を入れ替えてみましょう。
yについて考えると､積分範囲は０からで、傾き１の直線 y= t にぶつかったところで積分は終わりです。
この積分領域の上限が、t が大きくなるにつれて、じわじわ上がっていく感じです。
ｔの範囲は０から∞ですね。これを式に書けば
( f )
( g )
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=
∫t=o∞
∫y=ot
e-s t f(t -y) g(y) dy
dt
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e-s t は、y にとっては定数も同然ですから積分の外に出せて
( f )
( g )
-
=
∫t=o∞
e-s t
∫y=ot
f(t -y) g(y) dy
dt
-
ここで内側の積分を見てください。
ｙを事件のあった日、ｔは今日、ｇ(y) が事件の重大さの度合い、ｆ(t-y)を忘却の関数と思えば、
これはｆとｇのたたみこみ f＊g ですね！
また、外側の積分を見てください。e-s t をかけて、０から∞まで積分しています。
これはラプラス変換の定義でした！よって、
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たたみこみの定義
ラプラス変換の定義
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合成法則
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( f )
( g )
＝
( ｆとｇのたたみこみ f＊g )
となることがわかりました。重要なので「合成法則」などと呼ばれてます。
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