解析 I （2回目）微分係数

増加率を詳しく

増加率 \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) を求める時は、\({\Delta x}\) は１じゃなくて0.1 とか0.01 とか0.001 とか
もっと細かいほうがよさそうでしたね。

\({\Delta x}\) をこまかくしたら、
\({\Delta y}\) も細かくなっていきますよね。

その求め方を考えましょう。

グラフのもとになる式は
y = (x の出てくる式)
の形で書かれることが多いですよね。

x によって y の値がきまるので、
y は x の関数 function of x つまり
y = f( x )
です。

f(　)の中の x のところに実際のx の数値を入れていきます。
x= 2 のときの y の値は y= f( 2 )
x= 3 のときの y の値は y= f( 3 )
x= 5 のときの y の値は y= f( 5 )
x= 5.01 のときの y の値は y= f( 5.01 )
x= 5+\({\Delta x}\) のときの y の値は y= f( 5+\({\Delta x}\) ) です。


x が 5 から 5+\({\Delta x}\)までふえたとき、
y は　f(5) から f( 5+\({\Delta x}\))までふえたので

\({\Delta y}\) = f( 5+\({\Delta x}\) ) - f( 5 ) ですよね

つまり
\begin{align}増加率 \frac{\Delta y}{\Delta x}　 = \frac{f( 5+{\Delta x} ) - f(5)}{\Delta x}\end{align}

\(\Delta x \) をどんどん細かくしていくと
\begin{align}増加率 \frac{\Delta y}{\Delta x}　 = \frac{f( 5+0.1 ) - f(5)}{0.1}\end{align} \begin{align}増加率 \frac{\Delta y}{\Delta x}　 = \frac{f( 5+0.01 ) - f(5)}{0.01}\end{align} \begin{align}増加率 \frac{\Delta y}{\Delta x}　 = \frac{f( 5+{0.0001} ) - f(5)}{0.0001}\end{align}

微分係数

きりがないので、「\(\Delta x \) を極限まで0に近づけていく」という意味で
\(\Delta x\rightarrow 0\)の極限(リミット、limit）として次のように書き
\begin{align} \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}　 = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 5+{\Delta x} ) - f(5)}{\Delta x}\end{align}
これを x=5 における微分係数と呼び、$f'(5)$ と書きます。つまり
\begin{align}f'(5) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 5+{\Delta x} ) - f(5)}{\Delta x}\end{align} $f'$ は日本ではなぜか $f$ ダッシュと読む人が多いですが
英語では $f$ プライムと読みます。

x=2 における微分係数なら
\begin{align}f'(2) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 2+{\Delta x} ) - f(2)}{\Delta x}\end{align} x=8 における微分係数なら
\begin{align}f'(8) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 8+{\Delta x} ) - f(8)}{\Delta x}\end{align}
です。

これをノートに書きます