前の問題
例題 |
y '' + 4 y ' + 5y = 1 ただし
y(0) = 0、y'(0)=0
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１．両辺をラプラス変換する
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 ( y '' ) + 4 ( y' ) + 5 ( y )
= ( 1 )
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２．ラプラス変換の微分法則 を使う
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( y' ) = -y(0) + s( y )
( y'' ) = -y'(0) + s( y' )だから
これを代入
-y'(0) + s( y' )
+ 4 { -y(0) + s( y )}
+ 5 ( y ) = ( 1 )
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３．もう一度ラプラス変換の微分法則 を使う
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-y'(0) + s{ -y(0) + s(y) }
+ 4 { -y(0) + s(y) }
+ 5 (y) = ( 1 )
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４．初期条件を使う
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問題文に書いてある y(0) = 0, y'(0)=0 を代入
0 + s { -0 + s ( y )}
+ 4 { -0+ s ( y )}
+ 5( y ) = ( 1 )
整理整頓
( s2 + 4s + 5 )( y ) =
( 1 )
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５．右辺のラプラス変換を計算する
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( s2 + 4s + 5 )( y ) = $\displaystyle {1 \over s}$
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６．( y ) = の形に持ち込む
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$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {1 \over s \cdot (s^2 +4s + 5) }$
右辺は何かのラプラス変換の足し算、引き算になるまで ばらしまくる。
知っている技は何をつかってもよい。ここは右辺を
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {A \over s} + {Bs+C \over (s^2 +4s + 5) }$ などとおいて
$A,B,C$を合わせていけばできる。（部分分数分解）
この形で通分してみて
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {A (s^2 +4s + 5) \over s \cdot (s^2 +4s + 5)} + {s(Bs+C) \over s \cdot (s^2 +4s + 5) }$
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {A s^2 +4As + 5A +Bs^2 +Cs \over s \cdot (s^2 +4s + 5)} $
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {(A+B) s^2 +(4A+C)s + 5A \over s \cdot (s^2 +4s + 5)} $
分子が1になればいいので
$ A+B =0$
$ 4A+C =0$
$5A=1$
これより $\displaystyle A= {1\over 5}, B= -{1\over 5}, C= -{4\over 5}$
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {1\over 5} \{{1 \over s} -{s+4 \over (s^2 +4s + 5) }\}$
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {1\over 5} \{{1 \over s} - {(s+2)+2 \over (s+2)^2 + 1 }\}$
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {1\over 5} \{{1 \over s} - {(s+2) \over (s+2)^2 + 1 } -{2 \over (s+2)^2 + 1 }\}$
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７．
何のラプラス変換か考え
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$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
{1 \over 5} \{
\mathcal{L}(1)
- \mathcal{L}( e^{-2t}\cos(t))
- 2 \mathcal{L}( e^{-2t}\sin(t))
\}
$
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８．両辺の( ）を同時にはずす
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$\displaystyle y =
{1 \over 5} \{
1
- e^{-2t}\cos(t)
- e^{-2t}\sin(t)
\}
$
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