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解析 I 置換積分

掛け算の積分は掛け算に微分から行くのでしたね

$\{ f(x) g(x) \}' = f(x)' g(x) + f(x) g(x) '$
積分して $\begin{align} \Bigl[ f(x) g(x) \Bigr]_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} &= \int_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} f(x)' g(x) \, dx + \int_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} f(x) g(x) ' dx \\ \Bigl[ f(x) g(x) \Bigr]_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} &- \int_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} f(x)' g(x) \, dx = \int_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} f(x) g(x) ' dx \\ \end{align}$ この式を導出してからやればよいですね

$\displaystyle \int_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} f(x) g(x) ' dx　 = \Bigl[ f(x) g(x) \Bigr]_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} - \int_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} f(x)' g(x) \, dx$ $f(x)=x, g'(x)= \cos{x}$ と考えると $g(x)=\sin{x}$ になるから
$\begin{align} \int_{\Large x=0から}^{\Large x={\pi \over 2}まで} x \cos{(x)} \, dx &= \Bigl[ x \sin(x) \Bigr]_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} - \int_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} 1 \cdot \sin(x) \, dx \\ &= {\pi \over 2}\sin{\pi \over 2} -0\sin{0} - \Bigl[ -\cos{x} \Bigr]_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} \\ & マイナスかけるマイナスのところは見つけ次第プラスに直す \\ &= {\pi \over 2}\sin{\pi \over 2} -0\sin{0} + \Bigl[ +\cos{x} \Bigr]_{ x=0から}^{ x={\pi \over 2}まで} \\ &= {\pi \over 2} -0 + \cos{\pi \over 2} -\cos{0} \\ &= {\pi \over 2} \qquad +\quad 0 \quad -1 \end{align}$
$\displaystyle \int_{\Large x=0から}^{\Large x={\sqrt{\pi} \over 2}まで} x \cos{(x^2)} \, \ dx$

掛け算の積分だし、上の問題と似ているからと思って
$f(x)=x, g'(x)= \cos{(x^2)}$ と考えると、 $g(x)$ が分からない！

だいたい、 $\cos{(\quad)}$ の( ) の中が $x^2$ なんてやったことない。
ここが１文字だったらできるのに...

...今大事なこと言いましたよ。「ここが１文字だったら」

こんなときは、
「ここが１文字だったら」の所（今の問題なら $u = x^2$ ）を
$u$ と置いて１文字にするとうまくいくことがあります。
この方法を置換積分といいます。
置換積分: $u$ と置くと決めたからには、元の式に出てくる $x$ を全部、
$u$ を使って書き換えていきます。 $x$ の出てくる場所は３つ、
(1) 真ん中の被積分関数
(2) 積分区間 $x=0$ から $x={\sqrt{\pi} \over 2}$ まで
(3) 最後の $dx$

この３つを書いていきます。最初に書くのはさっきの
「ここが１文字だったら」の置き換え
(1) $u = x^2$

(2)次に積分範囲をかきなおしていきます。
さっきおいた $u = x^2$ に代入すると、
$x =0$ の時は
$u =0$ になりますね。そして
$x ={\sqrt{\pi} \over 2}$ の時は
$u ={\pi \over 4}$ になりました。

普通はこれを次のような小さい表の形にかきます

これを使って $\displaystyle \int_{\Large x=0から}^{\Large x={\sqrt{\pi} \over 2}まで}$ を $\displaystyle \int_{\Large u=0から}^{\Large u={ \pi \over 4}まで}$ に書き換えるのです。

(3) 最後に $dx$ もかきかえます。どうやって？
さっきおいた $u = x^2$ の両辺を、 $x$ で微分します。
そのとき， $'$ でなく、 $\displaystyle {d \over dx}$ で書くことがポイントです。
　 $u = x^2$ 　より
$\displaystyle {du \over dx} = 2x$
そしてなんとこれを
$\displaystyle {du } = 2x dx$
$\displaystyle {1\over 2x} du = dx$ 　と変形するのです。そんなことやっていいの！？

この３つを使って問題の式を書き換えると

$x$ が約分で消えて
　　　　　
$\begin{align} =& \int_{\Large u=0から}^{\Large u={ \pi \over 4}まで} \cos{ (u) } \, \ {1\over 2} du \qquad u だけの式になりました！\\ & 定数の掛け算は外に出してもよいので\\ =& {1\over 2} \int_{\Large u=0から}^{\Large u={ \pi \over 4}まで} \cos{ (u) } \, \ du \\ \end{align}$ ここまできたらあとは積分できますね。
ノートに書くとこんなかんじ

ご注意！この問題は、途中で
$x$ が約分で消えて、 $u$ だけの式 にできたので成功しました。

$x$ が消えなくて、
$x$ と $u$ が混ざった式になってしまったときは
この方法は使えません

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