-
$\displaystyle
\int {2 x + 1 \over \sqrt{ x^2+x+1 } }\, dx
$
-
ルートの中身を $u$ と置き換えるとうまくいきそうですね
(1) $u= x^2+x+1$
(2) 範囲なし
(3) $dx$ の書き換え
$\displaystyle
{du \over dx } = {d \over dx }( x^2+x+1 ) = 2x+1 $ より
${du } = (2x+1) dx$
${du } = 2x+1 dx$ と書いたらと誤りです！（ ）がないとだめです！！
${dx } = {1\over 2x+1} du$
\begin{align}
（与式）
&=
\int {2 x + 1 \over \sqrt{ u } }\, {1\over 2x+1} \, du
&=
2 \sqrt{ u } +C\\
& uを戻して\\
&=
2 \sqrt{ x^2+x+1 } +C
\end{align}
最後に $u$ を戻すのを忘れない。
検算
$y = 2 \sqrt{ x^2+x+1 } +C$ を微分してみる。
$u = x^2+x+1 $ とおくと
$y = 2 \sqrt{ u } +C$
\begin{align}
{ dy \over dx } &= { dy\over du} {du \over dx} \\
&= 2 {1 \over 2\sqrt{u} } (2x+1+0)\\
&= {2x+1 \over \sqrt{x^2+x+1}}
\end{align}
与式の中身と同じになったので、OK
- では例題やってみよう
-
$\displaystyle
\int x e^{-x^2} \, dx
$
かいたら
答え合わせ
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