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解析 I 置換積分

$\displaystyle \int {2 x + 1 \over \sqrt{ x^2+x+1 } }\, dx$: ルートの中身を $u$ と置き換えるとうまくいきそうですね

(1) $u= x^2+x+1$

(2) 範囲なし

(3) $dx$ の書き換え
$\displaystyle {du \over dx } = {d \over dx }( x^2+x+1 ) = 2x+1$ より

${du } = (2x+1) dx$
${du } = 2x+1 dx$ 　と書いたらと誤りです！（　）がないとだめです！！
${dx } = {1\over 2x+1} du$

$\begin{align} （与式） &= \int {2 x + 1 \over \sqrt{ u } }\, {1\over 2x+1} \, du &= 2 \sqrt{ u } +C\\ & uを戻して\\ &= 2 \sqrt{ x^2+x+1 } +C \end{align}$ 最後に $u$ を戻すのを忘れない。

検算
$y = 2 \sqrt{ x^2+x+1 } +C$ を微分してみる。
$u = x^2+x+1$ とおくと
$y = 2 \sqrt{ u } +C$
$\begin{align} 　{ dy \over dx } &= { dy\over du} {du \over dx} \\ &= 2 {1 \over 2\sqrt{u} } (2x+1+0)\\ &= {2x+1 \over \sqrt{x^2+x+1}} \end{align}$
与式の中身と同じになったので、OK
では例題やってみよう: $\displaystyle \int x e^{-x^2} \, dx$

かいたら答え合わせ