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\( f(x) = \sqrt{x-1}\) の 導関数を求めよ
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導関数は
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\begin{align}f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( x+{\Delta x} ) - f(x)}{\Delta x}\end{align}
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\( f( x ) = \sqrt{x-1 \ } \) の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
\( f( ) = \sqrt{( )-1 \quad } \) と書き、
\( f( x+{\Delta x} ) = \sqrt{(x+{\Delta x})-1 \ } \)
これを代入
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( x+{\Delta x} ) - f(x) }{\Delta x}
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{ \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } - \sqrt{ x -1 } }{\Delta x}
\end{align}
ルートのついた数どうしは
そのままでは引き算できないので
ルート外すために
上下に
\( ( \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } + \sqrt{ x -1 }) \)をかけて
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ ( \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } - \sqrt{ x -1 })\cdot
( \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } + \sqrt{ x -1 }) }
{\ \Delta x \cdot
\ ( \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } + \sqrt{ x -1 })}
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ }^2 - \sqrt{ x -1 }^2 }
{\ \Delta x \cdot
\ ( \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } + \sqrt{ x -1 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ x+{\Delta x}-1 - (x-1) }
{\ \Delta x \cdot
\ ( \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } + \sqrt{ x -1 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ \Delta x }
{\ \Delta x \cdot
\ ( \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } + \sqrt{ x -1 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ 1 }
{\ 1 \cdot
\ ( \sqrt{ x+{\Delta x}-1 \ } + \sqrt{ x -1 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \frac
{ 1 }
{\
\ ( \sqrt{ x+0-1 \ } + \sqrt{ x -1 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \frac
{ 1 }
{\ 2 \ \sqrt{ x-1 }\quad }\quad
\\
\\
\end{align}
x=3 を代入したら
\begin{align}f'(3) = \frac{1}{ 2 \sqrt{ 2 }}\end{align}
x=4 を代入したら
\begin{align}f'(4) = \frac{1}{ 2 \sqrt{ 3 }}\end{align}
さっきと同じになりますね。
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次は\( f(x) = \frac{1}{x}\) の 導関数を求めよ
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