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\( f(x) = \cos{x}\) の 導関数を求めよ
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導関数は
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\begin{align}f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\end{align}
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\( f( x ) = \cos{x } \) の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
\( f( ) = \cos{( )\ } \) と書き、
\( f( x+{h } ) = \cos{(x+h ) \ } \)
これを代入
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\quad f( x+{h } ) - f(x) }{h }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos{(x+h ) \ } - \cos{( x )} }{h }
\end{align}
前半と後半が似た形になるように変形
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ \cos{(x+{h\over 2}+ {h\over 2}) } - \cos{(x+{h\over 2}- {h\over 2}) }}
{h }
\end{align}
書くのが大変なので、
$(x+{h\over 2})$ を A, ${h\over 2}$ をBとおくと
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos{(A+B ) \ } - \cos{(A-B)} }{h } \quad \quad \quad \quad \quad
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B} - ( \cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}) }
{h }
\end{align}
分子の後半に（ ）をつけるのを忘れないことが大切です。
マイナスを分配すると
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B} - \cos{A}\cos{B} -\sin{A}\sin{B} }{h}
\end{align}
引き算して整理
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ -2\sin{A}\sin{B} }{h }
\end{align}
A、B を戻して
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{ -2\sin{(x+{h\over 2})}\sin{({h\over 2})} }
{h }
\end{align}
分子の$\sin{( )}$の中の角度と、分母を揃えたいので
分母、分子に${1\over 2}$をかけ
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac
{-{1\over 2}\cdot 2\sin{(x+{h\over 2})}\sin{({h\over 2})} }
{({h \over2}) }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \quad \frac
{\quad -\sin{(x+{h\over 2})}\sin{({h\over 2})} }
{({h \over2}) }
\end{align}
になります。
$\displaystyle
\lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{\sin{({h\over 2})} }
{({h \over2}) }
= 1
$
より
\begin{align}f'(x) = -\sin{(x)}
\end{align}
- 次は
$f(x)=\tan{(x)} $ の導関数を求めよう
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これは1050円みたいに角度を分けなくても、分数の引き算でできるよ
途中で困ったらめくる
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