ラプラス変換解説電気回路の応答

ラプラス変換

回路の説明に戻る例題（簡単）LR コンデンサなし	インダクタンスLのコイル、抵抗値Rの抵抗、を一定の電圧の電源Eに直列につなぎ、時刻 t=0 にスイッチを入れた。これ以降の電流 i(t) を求めよ。ただしi(0)=0	これは飛ばして次の問題へ進む
	１．方程式をたてる抵抗（昔の記号）の両端の電圧 V = R i(t) コイル（昔の記号）の両端の電圧 L i ' (t) ただし i ' (t) は i (t)を tで微分した di / dt この合計が電源の起電力E(t)と等しくなるので､ L i ' (t) + R i(t) = E(t)	電気用図記号変わります
	２．両辺をラプラス変換する L( i ' ) + R( i ) = ( E )	面倒なので以下 (t) 省略
	３．ラプラス変換の微分法則を使う微分法則 ( i ' ) = -i(0) + s( i ) を代入 -Li(0) + Ls( i ) + R( i ) = ( E ) 両辺にLi(0)を足して Ls( i ) + R( i ) = ( E ) + Li(0) まとめて ( Ls + R ) ( i ) = ( E ) + Li(0)	( Ls + R )は「特性関数」または「インピーダンス」
	６．右辺を計算する問題文より i(0)=0 ( Ls + R ) ( i ) = ( E ) ( E ) は定義どおりに e^-st かけてt=0から∞まで積分 ( Ls + R ) ( i ) = ∫_o^∞　e^-st E dt 　　　　　　　　　　= E∫_o^∞　e^-st dt 　　　　　　　　　　= E/s
	７．左辺を( y ) = の形にして整理 ( Ls + R ) ( i ) = E/s 両辺に1/( Ls + R )をかけ ( i ) =E/{ s( Ls + R ) } ちょっと変形 ( i ) =E/{ Ls( s + R/L ) } ちょっと変形 ( i ) =E/L ・1/{ s( s + R/L ) } 部分分数分解 ( i ) =E/L ・{ 1/s - 1/(s+R/L) } ・L/R 整理 ( i ) =E/R ・{ 1/s - 1/(s+R/L) } ８．右辺が何のラプラス変換か考える ( i ) = E/R ・ ( 1 - e^-(R/L)t ) ( i ) = ( E/R ・ ( 1 - e^-(R/L)t ) ) ９．両辺の(　）を同時にはずす i(t) = E/R ・( 1 - e^-(R/L)t )	(f)(g)は (fg)ではないので注意 web上で分数を/で書いているので見づらいですが普通に水平の線で書くと分かりやすい
検算しましょう	出来た答えを微分 i'(t) = E/R・( 0 + (R/L) e^-(R/L)t ) = E/L・ e^-(R/L)t 元の方程式に代入 L i '+ R i = L{(E/L) e^-(R/L)t } + R・E/R・( 1 - e^-(R/L)t) 　　　　　　= E e^-(R/L)t + E - Ee^-(R/L)t 　　　　　　= E 元の方程式の右辺と等しくなったのでOK 初期条件　t=0 を代入 i(0) =E/R・( 1 - e⁰ ) = 0　　問題文と同じなのでOK
解を味わう	今回得られた解i(t) = ( 1 - e^-(R/L)t ) /Rは、こういう電圧に対し E t こういう電流が流れるということです。 i(t) t スイッチ・オンからやや遅れて電流が増えていくところが、小学校でやった時よりも､リアリティがありますよね！また、時間t→∞で、電流iは中学・高校で習った値 E/R に収束していきます。この解は､(L/R)が大きいと（Lが大きくてRが小さいと）更にゆっくり立ち上がるようになります。 i(t) t	小学生の時に習ったのは、こういう電圧なら E t こういう電流でした。 i t
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