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$(x^4)'= 4x^3$ （課題3）
$(x^3)'= 3x^2 $
$(x^2)'= 2x $
$(x^1)'= 1 $
$(x^0)'= ( 1 )' = 0 $
$(x^{-1})'= -x^{-2}$ （課題3）
$(x^{-2})'= -2x^{-3}$ （課題4）
そしてたぶん
$(x^{100})'= 100 x^{99}$だと思いますが、確かめたことはないですよね
$(x^{n})'= n x^{n-1}$ これ、どうやって証明しますか。
いろいろな方法がありますが、今回は「数学的帰納法」で証明しましょう。
(教科書p47)
数学的帰納法
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この方法は
(1) n=1の時成り立つ事を示す
(2) ある数で成り立ったら、１つ多い数でも成り立つことを示す
その結果、全ての自然数で成り立つことが証明できる、という方法です。
やってみましょう
- $(x^{n})'= n x^{n-1}$の証明
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(1) n=1 のとき、$(x^1)' = (x)' = 1 = x^0 $ これは n=1 の時の $nx^{n-1}$
よって
n=1 のとき、$(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつ。（第１段階クリア）
(2) ある数 n=k で$(x^{n})'= nx^{n-1}$が成りたつと仮定する。つまり
$(x^{k})'= kx^{k-1}$ と仮定する。
このとき、１つ多いn=k+1では
\begin{align}
(x^{k+1})'
&= (x^k \cdot x)' （指数法則）\\
\\
&= (x^k)' \cdot x + (x^k)(x)' （積の微分）\\
\\
&= (x^k)' \cdot x + x^k \cdot 1 \\
\\
&= k x^{k-1} \cdot x + x^k （仮定より）\\
\\
&= k x^{k-1+1} + x^k （指数法則）\\
\\
&= k x^k + x^k （指数法則）\\
\\
&= (k+1) x^k \\
\\
&= (k+1) x^{(k+1)-1}
\end{align}
これは $n=k+1$ のときの $ nx^{n-1} $ の形なので
$n=k+1$ のとき、$(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつ。（第２段階クリア）
(3) (1)(2)より、全ての自然数について$(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつ。
- 使用例
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$(x^{100})'= 100 x^{99}$
ただし、今証明したのは
n=1 から始めて n=2, 3, 4, ... と、１より大きい自然数だけなので、
マイナスの数 n= -1, -2, -3, ... についてはまだ証明しておりません。
だけど、 n= -1 のとき
$\displaystyle ( x ^{-1} )' = ( {1 \over x } )' = -{1 \over x^2} = -x^{-2} = (-1) x ^{(-1)-1}$
だから成り立っているし、 n= -2 のときも
$\displaystyle ( x ^{-2} )' = ( {1 \over x^2 } )' = -{2 \over x^3} = (-2)x^{-3} = (-2) x ^{(-2)-1}$
だから成り立っていて、
n がマイナスでも成り立っているような気がしますね。
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負の整数 $n$ についても、
$(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつことを数学的帰納法で示しなさい。
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上の例を真似してやってください。
とりあえず書いてみたら
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