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解析 I 掛け算と割り算の微分

これまで、割り算の多くは
$\displaystyle {\cos{(5x)} \over x } = x^{-1} \cos{(5x)}$
$\displaystyle {\sin{(5x)} \over e^{2x} } = e^{-2x} \sin{(5x)}$

のように掛け算に直して回避できました。

だけどこれはどうでしょう
$\displaystyle { \sin{(5x)} \over e^{2x}+1 }$

分母が $e^{2x}$ だけだったら $e^{-2x}$ の掛け算にできるのですが
$e^{2x}+1$ となっているのでできません....

そこで
割り算の微分 $\begin{align} \left( {f(x)\over g(x)} \right)' &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ {f(x+h)\over g(x+h)} - { f(x)\over g(x)} }{h } \\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h} \left( {f(x+h)\over g(x+h)} - { f(x)\over g(x)} \right)\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h} \frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x+h)} {g(x+h)g(x)} \end{align}$: ここで、分子が $( f(x+h) - f(x) ) g(x)$ の形になるように
$- f(x) g(x)$ を付け加えて、すぐに $+ f(x) g(x)$ で元に戻す $\begin{align} \left( {f(x)\over g(x)} \right)' &= \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h} \frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x) + f(x) g(x) - f(x) g(x+h)} {g(x+h)g(x)} \end{align}$ 分子の前半を $g(x)$ で因数分解、後半を $f(x)$ で因数分解 $\begin{align} \left( {f(x)\over g(x)} \right)' &= \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h} \frac{ (f(x+h)-f(x)) g(x) + f(x) (g(x)-g(x+h))} {g(x+h)g(x)} \end{align}$ 後半 $(g(x+h)-g(x))$ になるようにひっくり返してマイナスを前に書く $\begin{align} \left( {f(x)\over g(x)} \right)' &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ (f(x+h)-f(x)) g(x) - f(x) (g(x+h)-g(x))} { h \cdot g(x+h)g(x)} \\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{ (f(x+h)-f(x))}{ h} g(x) - f(x) \frac{(g(x+h)-g(x))}{h} \right) { 1 \over g(x+h)g(x)} \\ \\ &= \qquad \qquad \left( \qquad f'(x) \ g(x) \qquad - \qquad f(x) \ g'(x) \qquad \right) { 1 \over g(x+0)g(x)} \end{align}$ まとめると $\begin{align} \left( {f(x)\over g(x)} \right)' = { f'(x)g(x) - f(x) g'(x) \over g(x)^2 } \end{align}$
おぼえかた

$\begin{align} \left( {分子 \over 分母} \right)' = { 分子' \cdot 分母 - 分子 \cdot 分母' \over 分母^2 } \end{align}$ 子を先に微分、母はあとで微分。
お母さんて、子供に「あんた先に食べなさい」「あんた先にお風呂入りなさい」「お母さんあとでいいから」てよく言うよね...

使ってみよう
次の関数を微分しなさい: 31) $\displaystyle y = { \sin{(5x)} \over e^{2x}+1 }$

32) $\displaystyle y = { \sin{(x)} \over \cos{(x)} }$

答え合わせ