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これまで、割り算の多くは
cos(5x)x=x−1cos(5x)
sin(5x)e2x=e−2xsin(5x)
のように
掛け算に直して回避できました。
だけどこれはどうでしょう
sin(5x)e2x+1
分母が e2x だけだったら e−2x の掛け算にできるのですが
e2x+1 となっているのでできません....
そこで
割り算の微分
(f(x)g(x))′=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→01h(f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x))=limh→01hf(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)g(x+h)g(x)
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ここで、分子が
(f(x+h)−f(x))g(x) の形になるように
−f(x)g(x) を付け加えて、すぐに +f(x)g(x) で元に戻す
(f(x)g(x))′=limh→01hf(x+h)g(x)−f(x)g(x)+f(x)g(x)−f(x)g(x+h)g(x+h)g(x)
分子の前半を g(x) で因数分解、後半を f(x) で因数分解
(f(x)g(x))′=limh→01h(f(x+h)−f(x))g(x)+f(x)(g(x)−g(x+h))g(x+h)g(x)
後半 (g(x+h)−g(x)) になるように ひっくり返してマイナスを前に書く
(f(x)g(x))′=limh→0(f(x+h)−f(x))g(x)−f(x)(g(x+h)−g(x))h⋅g(x+h)g(x)=limh→0((f(x+h)−f(x))hg(x)−f(x)(g(x+h)−g(x))h)1g(x+h)g(x)=(f′(x) g(x)−f(x) g′(x))1g(x+0)g(x)
まとめると
(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2
おぼえかた
(分子分母)′=分子′⋅分母−分子⋅分母′分母2
子 を先に微分、母はあとで微分。
お母さんて、子供に「あんた先に食べなさい」「あんた先にお風呂入りなさい」「お母さんあとでいいから」てよく言うよね...
使ってみよう
- 次の関数を微分しなさい
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31)
y=sin(5x)e2x+1
32)
y=sin(x)cos(x)
答え合わせ
もくじ
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