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解析 I 掛け算と割り算の微分

これまで、割り算の多くは
cos(5x)x=x1cos(5x)
sin(5x)e2x=e2xsin(5x)

のように 掛け算に直して回避できました。

だけどこれはどうでしょう
sin(5x)e2x+1

分母が e2x だけだったら e2x の掛け算にできるのですが
e2x+1 となっているのでできません....

そこで

割り算の微分

(f(x)g(x))=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh01h(f(x+h)g(x+h)f(x)g(x))=limh01hf(x+h)g(x)f(x)g(x+h)g(x+h)g(x)
ここで、分子が (f(x+h)f(x))g(x) の形になるように
f(x)g(x) を付け加えて、すぐに +f(x)g(x) で元に戻す (f(x)g(x))=limh01hf(x+h)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x+h)g(x+h)g(x) 分子の前半を g(x) で因数分解、後半を f(x) で因数分解 (f(x)g(x))=limh01h(f(x+h)f(x))g(x)+f(x)(g(x)g(x+h))g(x+h)g(x) 後半 (g(x+h)g(x)) になるように ひっくり返してマイナスを前に書く (f(x)g(x))=limh0(f(x+h)f(x))g(x)f(x)(g(x+h)g(x))hg(x+h)g(x)=limh0((f(x+h)f(x))hg(x)f(x)(g(x+h)g(x))h)1g(x+h)g(x)=(f(x) g(x)f(x) g(x))1g(x+0)g(x) まとめると (f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2
おぼえかた

()=2 子 を先に微分、母はあとで微分。
お母さんて、子供に「あんた先に食べなさい」「あんた先にお風呂入りなさい」「お母さんあとでいいから」てよく言うよね...

使ってみよう

次の関数を微分しなさい

31) y=sin(5x)e2x+1

32) y=sin(x)cos(x)

答え合わせ
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