$f(x) = \log_e{x}$ の 導関数を求めよ
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導関数の定義
\begin{align}f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\end{align}
いま、関数が
\begin{align} f(x) = \log_e{x}
\end{align}
で、$x$ を「記入欄」だと思えば
\begin{align} f( ) = \log_e{( )}
\end{align}
なので、（ ）に$x+h$を代入すれば
\begin{align} f( x+h ) = \log_e{(x+h)}
\end{align}
これらを導関数の式に代入すれば
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \log_e{(x+h)} -\log_e{(x)} }{h }
\end{align}
$\log$どうしの引き算は
$\log$の中の割り算に直せるから
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \log_e{\left({x+h \over x}\right)} }{h }\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h } \log_e{ \left({x+h \over x}\right) } \\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h } \log_e{ \left(1+ {h \over x}\right) }
\end{align}
普通はここで行き詰ります。
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ここで、 $e$ の定義より
\begin{align}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \quad \quad e^h - 1 \quad }{h } \equiv 1
\end{align}
を使います。
$ \lim$ を使わずに書くとこれは
\begin{align}
{ e^h - 1 \over h } \rightarrow 1 \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\end{align}
とも書けます。両辺に $h$ を掛けたら
\begin{align}
{ e^h - 1} &\rightarrow h \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\\
\\
{ e^h }\qquad &\rightarrow 1+ h \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\\
\\
e \quad &\rightarrow (1+ h)^{1\over h} \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\\
つまり\\
(1+ h)^{1\over h} &\rightarrow e \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\end{align}
（ ）の中の $h$ と肩の上の ${1\over h}$ はお互いに逆数となっています。
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- ここでさっき止まってた導関数の式を見ると
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h } \log_e{ \left(1+ {h \over x}\right) }
\end{align}
（ ）の中にあるのは ${h \over x}$ です。これの逆数${x \over h}$が肩の上にあれば、
$\log$ の真数部分が$e$ に収束するんですが、、、
そういえば $\log$ って肩の上のものは前に出せたんですよね。
てことは、前のものは肩の上に乗せられるんですよね。
肩の上に ${x \over h}$ を乗せたいのだから、
${x \over h}$ が前にあればいいですよね！
そうなってるかな！？
...惜しい、
前にあるのは ${x \over h}$ じゃなくてただの ${1 \over h}$ でした...
あきらめるのはまだ早い、無理やりにでもこの形にもっていけばいいですね。
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over x } {x\over h } \log_e{ \left(1+ {h \over x}\right) }
\end{align}
にして、前に出た ${x \over h}$ を肩の上乗せ
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over x } \, \log_e{ \left(1+ {h \over x}\right)^ {x\over h } }
\end{align}
（ ）の中の ${h \over x}$ と肩の上の ${x\over h}$ はお互いに逆数にできました。
$h\rightarrow 0 $ のときは
${h \over x}$ も $\rightarrow 0 $ なので
\begin{align}
\left(1+ {h \over x}\right)^ {x\over h } \rightarrow e
\qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\end{align}
これを使うと
\begin{align}f'(x)
&=& {1\over x } \, \log_e{ e } \\
\\
&=& {1\over x } \cdot 1 \quad \\
\\
&=& {1\over x } \qquad
\end{align}
まとめると
\begin{align}
( \log_e{x} )' = {1\over x }
\end{align}
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