$f(x) = \log_3{|x|}$ の 導関数を求めよ
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直接 $f(x) = \log_3{|x|}$ の導関数を求めてもよいし
$\displaystyle f(x) = {\log_e{|x|} \over \log_e{3} }$ と変形してから
導関数を求めてもよいです。
せっかくなので
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$ f(x) = {\log_e{|x|}}$ の 導関数を求めてみましょう。
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導関数の定義
\begin{align}f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\end{align}
関数
$ f(x) = {\log_e{|x|}}$ とは、
絶対値記号の中が正（プラス）だったらそのまま
$ f(x) = {\log_e{x}}$
絶対値記号の中が負（マイナス）だったら、
プラスに変えるためマイナスを掛ける
$ f(x) = {\log_e{(-x)}}$
という意味です。
(絶対値の中のマイナスとプラスを取り替えるという意味ではないので注意）
なので、$x >0 $ の時は、前回やった通り
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \log_e{(x+h)} -\log_e{(x)} }{h }
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \log_e{\left({x+h \over x}\right)} }{h }\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h } \log_e{ \left({x+h \over x}\right) } \\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over h } \log_e{ \left(1+ {h \over x}\right) } \\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over x } {x\over h } \log_e{ \left(1+ {h \over x}\right) }
\end{align}
にして、前に出た ${x \over h}$ を肩の上乗せ
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over x } \, \log_e{ \left(1+ {h \over x}\right)^ {x\over h } }
\end{align}
ここで、 $e$ の定義より
\begin{align}
{ e^h - 1 \over h } &\rightarrow 1 \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)\\
\\
{ e^h - 1} &\rightarrow h \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\\
\\
{ e^h }\qquad &\rightarrow 1+ h \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\\
\\
e \quad &\rightarrow (1+ h)^{1\over h} \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\\
\\
(1+ h)^{1\over h} &\rightarrow e \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\\
\end{align}
よって
\begin{align}
\left(1+ {h\over x} \right)^{x\over h} &\rightarrow e \qquad (h\rightarrow 0 \, のとき)
\end{align}
よって
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} {1\over x } \, \log_e{ e } \\
\\
&=& {1\over x } \cdot 1 \quad \\
\\
&=& {1\over x } \qquad
\end{align}
$x<0$ のときは
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \log_e{(-(x+h))} -\log_e{(-x)} }{h }
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \log_e{\left({-(x+h) \over -x}\right)} }{h }\\
マイナスは約分できるから\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \log_e{\left({(x+h) \over x}\right)} }{h }\\
\end{align}
ここから先は $x>0$ の時と全く同じなので、
まとめると
\begin{align}
( \log_e{|x|} )' = {1\over x }
\end{align}
右辺には絶対値をつけてはいけません。
$x$ が負の時はグラフは「減少」なので
増加率$f'(x)$ がマイナスになるのが正しいです。
$\displaystyle f(x) = {\log_3{|x|} }$ の微分は
$\displaystyle f(x) = {\log_e{|x|} \over \log_e{3} }$ より
$\displaystyle f'(x) = {1 \over x \log_e{3} }$
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