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解析 I,II 対数微分法

$y = 2^x$ の微分: $y = e^x$ の微分ならできるんですが　
$y = 2^x$ の微分は難しいです。

こんなとき、「両辺の対数をとる」と、
肩の上の x を下せるので簡単にできるようになります。

この技を「対数微分法」と言います。
対数微分法: y = 2^x の左辺と右辺をそれぞれ対数の真数にして
log_e y = log_e 2^x
と書くことを、「両辺の対数をとる」 と言います。
この言い方を覚えてください。これ以外はすべて不可です。
(英語だと take the logarithm of と言います。)

両辺の対数を取ると; $\begin{align} \log_e{y} &= \log_e{2^x} \\ \\ &= x \log_e{2} \\ \end{align}$ ここで両辺をxで微分します。 $\begin{align} {d \over dx} (\log_e{y} ) &= {d \over dx}( x \log_e{2} )\\ \end{align}$ 左辺は $y$ の式なので、 $x$ で微分と言われても困ります。そこで
$y$ で微分してから、 $x$ で微分する形にします。
(左辺) $\begin{align} {d \over dx} (\log_e{y} ) &= {d \over dy} (\log_e{y} ) {dy \over dx}\\ &= \quad {1 \over y} \, {dy \over dx}\\ \end{align}$ ${dy \over dx}$ が分からないですが、そのままにしておきます。

右辺は簡単ですね。
(右辺) $\begin{align} {d \over dx}( x \log_e{2} ) &= ( x )' ( \log_e{2} ) + x ( \log_e{2} )' \\ &= 1 \cdot (\log_e{2} ) + x \cdot (定数の微分だから０) \\ &= \log_e{2} \\ \end{align}$ ここまで来たら両辺をつなぎます。 $\begin{align} (左辺) &=(右辺)\\ {1 \over y} \, {dy \over dx} &= \log_e{2} \\ \end{align}$ ここで初心に帰ります。何を求めてるんだっけ？
$y$ の微分、すなわち $\displaystyle {dy \over dx}$ ですよね。

左辺に見えてますよね。
左辺を $\displaystyle {dy \over dx}$ だけにするため、両辺に $y$ を掛けます。 $\begin{align} {dy \over dx} &= y \log_e{2} \\ \end{align}$ $y = 2^x$ を代入すれば出来上がり $\begin{align} {dy \over dx} &= 2^x \log_e{2} \\ \end{align}$ 普通は定数を前に書くものですが、
定数 $\log_e{2}$ を前に書いてしまうと
$\log_e{2}　2^x$ となってしまい、
$(\log_e{2})　2^x$ なのか
$\log_e{(2\cdot 2^x )}$ なのかはっきりしないので
$\log$ を最後にかきます。

このように、最初に両辺の対数をとってから両辺を微分して
${dy \over dx}$ を求める方法を、対数微分法　といいます。
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