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例題 |
ラプラス変換を使って、２階微分がでてくる問題
y '' -3 y ' + 2y = 2 e3t ただし
y(0) = 0、y'(0)=0
をやってみましょう。
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１．両辺をラプラス変換する
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 ( y '' ) -3( y' ) +2 ( y ) = ( 2 e3t )
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２．ラプラス変換の微分法則を使う
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( y' ) = -y(0) + s( y ) なので、
y'' は (y')' と考えれば
( y'' ) = -y'(0) + s( y' )だから
これを代入
-y'(0) + s( y' )
-3( -y(0) + s( y ) )
+2 ( y ) = ( 2 e3t )
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３．もう一度微分法則 を使う
-y'(0) + s ( -y(0) + s( y ) )
-3( -y(0) + s( y ) )
+2 ( y ) = ( 2 e3t )
- 微分がでてこなくなるまで書き換えます。
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４．初期条件を使う
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問題文に書いてある y(0) = 0, y'(0)=0 を代入
-0 + s ( -0 + s( y ) )
-3( -0 + s( y ) )
+2 ( y ) = ( 2 e3t )
s2( y )
-3s( y )
+2 ( y ) = ( 2 e3t )
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５．右辺を計算する
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$\displaystyle \quad
s^2 \mathcal{L}(y)
-3s \mathcal{L}(y)
+2 \mathcal{L}(y)= 2 \cdot{ 1 \over s-3 } $
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６．左辺を( y ) でまとめ、
( y ) = の形に持ち込む
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$\displaystyle \quad
(s^2-3s +2 )\mathcal{L}(y)= 2 \cdot{ 1 \over s-3 } $
$\displaystyle \quad
(s-2)(s-1) \mathcal{L}(y)= 2 \cdot{ 1 \over s-3 } $
$\displaystyle \quad
\mathcal{L}(y)= 2 \cdot{ 1 \over s-3 } \cdot{ 1\over (s-2)(s-1)}$
(s-3)(s-2)(s-1)のうち、(s-2)(s-1)の部分だけ 部分分数分解
$\displaystyle \quad
\mathcal{L}(y)= 2 \cdot{ 1 \over s-3 } \cdot
{ 1 \over (\quad )}
\left\{
{ 1 \over (s-2) } - { 1 \over (s-1) }
\right\}
$
$\displaystyle \quad
\mathcal{L}(y)= 2 \cdot{ 1 \over s-3 } \cdot
{ 1 \over ( 1 )}
\left\{
{ 1 \over (s-2) } - { 1 \over (s-1) }
\right\}
$
分配
$\displaystyle \quad
\mathcal{L}(y)= 2 \cdot
\left\{
{ 1 \over (s-3)(s-2) } -
{ 1 \over (s-3)(s-1) }
\right\}
$
また部分分数分解
$\displaystyle \quad
\mathcal{L}(y)= 2 \cdot
\left\{
{ 1 \over (\quad )}({ 1 \over (s-3) } - { 1 \over (s-2) })
-
{ 1 \over (\quad )}({ 1 \over (s-3) } - { 1 \over (s-1) })
\right\}
$
$\displaystyle \quad
\mathcal{L}(y)= 2 \cdot
\left\{
{ 1 \over ( 1 )}({ 1 \over (s-3) } - { 1 \over (s-2) })
-
{ 1 \over ( 2 )}({ 1 \over (s-3) } - { 1 \over (s-1) })
\right\}
$
$\displaystyle \quad
\mathcal{L}(y)= 2 \cdot
({ 1 \over (s-3) } - { 1 \over (s-2) })
-
({ 1 \over (s-3) } - { 1 \over (s-1) })
$
$\displaystyle \quad
\mathcal{L}(y)=
{ 1 \over (s-3) } - 2 \cdot{ 1 \over (s-2) } + { 1 \over (s-1) }
$
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７．右辺が何のラプラス変換か考える
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( y ) =
( e3t )
-2 ( e2t )
+ ( et )
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８．両辺の( ）を同時にはずす
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y = e3t -2 e2t + et
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前に
計算したのを
思い出す
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検算しましょう
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出来た答えを元の方程式に代入して、成り立つかどうか確かめよう。
y = et -2 e2t + e3t
を微分すると
y' = et -4 e2t + 3 e3t
y'' = et -8 e2t + 9 e3t
これを元の方程式の左辺 y'' -3y' + 2y に代入し
問題の式の右辺と同じになればOKです。
初期条件も代入して確かめましょう。
y = et -2 e2t + e3t
に t=0 を代入すると
y = e0 -2 e0 + e0 =1-2+1 = 0
また
y' = et -4 e2t + 3 e3t にt=0 を代入しても
y = e0 -4 e0 + 3e0 =1-4+3 = 0
初期条件と同じになったのでokですね！
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