前の問題
例題 |
ラプラス変換を使って、２階微分がでてくる問題
y '' + 2 y ' + y = sin( t ) ただし
y(0) = 1、y'(0)=0
をやってみましょう。
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１．両辺をラプラス変換する
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 ( y '' ) + 2 ( y' ) + ( y ) = ( sin(t) )
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２．ラプラス変換の微分法則 を使う
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( y' ) = -y(0) + s( y ) なので、
y'' は (y')' と考えれば
( y'' ) = -y'(0) + s( y' )だから
これを代入
-y'(0) + s( y' )
+ 2 ( y' )
+ ( y ) = ( sin(t) )
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３．もう一度ラプラス変換の微分法則 を使う
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-y'(0) + s{ -y(0) + s(y) }
+ 2 { -y(0) + s(y) }
+ (y) = ( sin(t) )
微分がでてこなくなるまで書き換えます。
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４．初期条件を使う
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問題文に書いてある y(0) = 1, y'(0)=0 を代入
0 + s { -1 + s ( y )}
+ 2 { -1 + s ( y )}
+ ( y ) = ( sin(t) )
整理整頓
( s2 + 2s + 1 )( y ) -s -2 =
( sin(t) )
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５．右辺のラプラス変換を計算する
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( s2 + 2s + 1 )( y ) - s - 2 =
1s2+1
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６．( y ) = の形に持ち込む
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( s2 + 2s + 1 )( y ) =
s+2+1s2+1
L(y)=s+2(s+1)2+1(s+1)2(s2+1)
このままでは何のラプラス変換かわかりにくいので、
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７．
何のラプラス変換か考えやすいように変形
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1項目の s+2 をs+1 と 1 に分けて
L(y)=s+1(s+1)2+1(s+1)2+1(s+1)2(s2+1)
1項めを約分
L(y)=1(s+1)+1(s+1)2+1(s+1)2(s2+1)
何のラプラス変換か思い出し
L(y)=L(e−t)+L(te−t)+1(s+1)2(s2+1)
３項目
L(y)=L(e−t)+L(te−t)+1(s+1)⋅1(s+1)⋅1(s2+1)
3項めの分母が s と s2 では部分分数分解しにくいので
s2 で揃えるように細工
L(y)=L(e−t)+L(te−t)+1(s+1)⋅(s−1)(s+1)(s−1)⋅1(s2+1)
分子の(s-1)はちょっとよけておく
L(y)=L(e−t)+L(te−t)+(s−1)(s+1)⋅1(s2−1)⋅1(s2+1)
分母にs2が入っているもの同士だと
部分分数分解しやすいよ
L(y)=L(e−t)+L(te−t)+(s−1)(s+1)⋅12{1(s2−1)−1(s2+1)}
分配
L(y)=L(e−t)+L(te−t)+12{(s−1)(s+1)(s2−1)−(s−1)(s+1)(s2+1)}
3項目約分
L(y)=L(e−t)+L(te−t)+12{1(s+1)2−(s−1)(s+1)(s2+1)}
3項目
L(y)=L(e−t)+L(te−t)+12L(te−t)−12(s−1)(s+1)(s2+1)
2項目3項目は同じだからまとめて、４項目の分母がs2で始まるるように上下に(s-1)
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)−12(s−1)2(s−1)(s+1)(s2+1)
分子は前によけておいて
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)−(s−1)221(s2−1)(s2+1)
分母の頭がs2に揃ったので部分分数分解
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)−(s−1)2212{1(s2−1)−1(s2+1)}
分配
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)−14{(s−1)2(s2−1)−(s−1)2(s2+1)}
約分と展開
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)−14{(s−1)(s+1)−s2−2s+1(s2+1)}
分子の
(s-1) は (s+1)-2、s2-2s+1 は (s2+1)-2s と考えると
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)−14{(s+1)−2(s+1)−(s2+1)−2s(s2+1)}
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)−14{1−2(s+1)−1+2s(s2+1)}
整理整頓
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)+12{1(s+1)−s(s2+1)}
何のラプラス変換か考える
L(y)=L(e−t)+32L(te−t)+12{L(e−t)−L(cos(t))}
L(y)=32L(e−t)+32L(te−t)−12L(cos(t))
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８．両辺の( ）を同時にはずす
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y=32e−t+32te−t−12cos(t)
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