LCR回路に戻る
例題
インパルス応答 |
インダクタンスL=10μH のコイル、抵抗値 R=500Ω の抵抗、電気容量 C=250pF のコンデンサ を直列につないだ回路のインパルス応答を求めよ
|
|
|
-
１．方程式をたてる
-
抵抗
 の両端の電圧 R i(t),
コイル の両端の電圧
L di(t)/dt,
コンデンサ  の両端の電圧
q(t)/C,
合計が 電源の起電力E(t)と等しくなるので､
L di(t)/dt + R i(t) + q(t)/C = E(t)
|
|
|
-
-
２．両辺をラプラス変換する
-
L
 ( i ' ) + R( i ) + (1/C)( q ) = ( E )
|
|
|
-
３．ラプラス変換の微分法則 を使う
-
Ls( i )
+ R( i ) + (1/C)( q ) = ( E ) + Li(0)
|
微分法則
( y’ )
=
- y(0) +
s ( y )
|
|
-
４．電荷q(t)と電流i(t)の関係を考える
-
dq(t)/dt = i(t)
両辺をラプラス変換
( q ') = ( i )
微分法則を使い
-q(0) + s( q ) = ( i )
( q ) ={ ( i ) + q(0) }/s
|
微分法則
( y’ )
=
- y(0) +
s ( y ) |
|
-
５．( i )だけの式にする
-
( q ) の式を元の方程式に代入して
Ls( i )
+ R( i )
+ (1/Cs)( i )
+ q(0)/Cs
= ( E ) + Li(0)
( i )の出てくる項を左辺にまとめて
( Ls + R + 1/Cs ) ( i )
= ( E ) + Li(0) - q(0)/Cs
|
( Ls + R + 1/Cs )は
「特性関数」
または
「インピーダンス」 |
|
-
６．右辺を計算する
-
「インパルス応答」となっているので
i(0) = 0, q(0)=0, E(t)= δ(t)
( δ(t) )=1 なので
( Ls + R + 1/Cs ) ( i ) = 1
|
単位インパルス
単位関数
インパルス応答
単位応答
|
|
-
７．左辺を( y ) = の形にして整理
-
( Ls + R + 1/Cs ) ( i ) = 1
変形して
( Ls2 + Rs + 1/C )/s ( i ) = 1
両辺にs/( Ls2 + Rs + 1/C )をかけ
( i ) = s/( Ls2 + Rs + 1/C )
変形して
( i ) = s/L{ s2 + (R/L)s + (1/LC) }
|
左の式は
( i )
= ( Ls + R + 1/Cs )-1
ともかけるね。
この( Ls + R + 1/Cs )-1を
「伝達関数」と
いいます
今､ i は
インパルス応答だから
( インパルス応答 )=
( 伝達関数 )
|
|
-
ここで初めて数値を代入
-
L = 10μH = 10-5H,
R = 5×102Ω,
C = 250pF = 2．5×10-10F なので
R/L = 5×107、
1/LC = 4×1014 です。
よって
( i ) = (1/L) ・ s/{ s2 + (R/L)s + (1/LC) }
= 105・ s/{ s2 + 5×107 s + 4×1014 }
これは
( i ) = 105s/( s + 107 )( s + 4×107 )
のように因数分解できます。
( i ) = 105s・1/( s + 107 )( s + 4×107 )
を部分分数分解して
( i ) = 105 s/ ( 3×107 )・
{ 1/(s+107) - 1/(s+4×107) }
sを前半と後半に分けて
( i ) = 105 / ( 3×107 )・
{ s/(s+107) - s/(s+4×107) }
分子sをs+107-107のように考えて
( i ) = 105/( 3×107 )・
{ 1 - 107/(s+107) - 1 + 4×107/(s+4×107) }
( i ) = 105/3 ・
{ - 1/(s+107) + 4/(s+4×107) }
-
８．右辺が何のラプラス変換か考える
-
( i ) = 105/3・{
( 4 exp( -4×107 t ))
- ( exp( -107 t ) )}
-
９．両辺の( ）を同時にはずす
-
i = 105/3・{
4 exp( -4×107 t )
- exp( -107 t ) )}
|
1/(s-A)(s-B)は
{ 1/(s-A) - 1/(s-B) }/( )
の形に直せます
これを
部分分数分解 と
いいます
|
検算しましょう
|
出来た答えを微分して元の方程式に代入し、成り立つかどうか確かめよう。
初期条件も代入して確かめよう。ただし、
インパルス応答のときは t=0 を代入して成り立たないこともあります。
|
|
回路の問題 まとめ
合成法則
(f)(g) へ進む
「初心者用ラプラス変換解説」最初のページへ戻る
|