解析 I （2回目）微分係数

ノートを書きながら進めます。

\( f(x) = x^3 \) の $x=1$ における微分係数を求めよ

x=1 における微分係数なので
\begin{align}f'(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 1+{\Delta x} ) - f(1)}{\Delta x}\end{align}
を求めればよいですね。

関数 の使い方

関数\( f(x) = x^3 \) のように与えられたら、
この式中の$x$ は「記入欄」だと思ってください。
つまり \begin{align}f( x ) = x^3\end{align} ときたらこれは \begin{align}f(　) = (　)^3\end{align} という意味です。だから x=1 の時の値は、空欄に1をかいて \begin{align}f(\ 1 \ ) = (\ 1 \ )^3\end{align} ですし、\(x=1+\Delta x\) の時の値は、空欄に\(1+\Delta x\)をかいて \begin{align}f( 1+\Delta x ) = ( 1 + \Delta x )^3\end{align} とすればよいです。
（関数が苦手な方は、毎回これを書くと簡単にできます）
これを最初の式に代入していきます

x=1 における微分係数

\begin{align}f'(1) &=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 1+{\Delta x} ) - f(1)}{\Delta x} \\ \\ &=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{( 1+{\Delta x} )^3 - (1)^3}{\Delta x} \end{align}
2行目にはもう $f$ がついていないことに注意してください。
\(( 1+{\Delta x} )^3 \)は、公式など暗記してなくても、地道に展開すればいいです。
\begin{align}f'(1) &=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{ 1+ 3 \Delta x + 3({\Delta x} )^2 + ({\Delta x} )^3 - 1}{\Delta x}\\ &=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{ \quad 3 \Delta x + 3({\Delta x} )^2 + ({\Delta x} )^3 \quad \quad }{\Delta x} \end{align}
分子の引き算を実行すると 1 が消え、 \({\Delta x} \) がついた項だけが残るので、 \({\Delta x} \) がかっこの外に出るよう因数分解
\begin{align}f'(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{ \Delta x \cdot \{3 + 3({\Delta x} ) + ({\Delta x} )^2 \}}{\Delta x} \end{align}
分母と分子の \({\Delta x} \)をここで約分 \begin{align}f'(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{ 1 \cdot \{ 3 + 3({\Delta x} ) + ({\Delta x} )^2 \} }{ 1 } \end{align}
分母に \({\Delta x} \)がなくなったら、 \begin{align}f'(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \{ 3 + 3({\Delta x} ) + ({\Delta x} )^2 \}\\ \end{align} ここで初めて\(\Delta x\rightarrow 0\)を実行 \begin{align}f'(1) = \{ 3 + 3\cdot 0 + 0 \}\\ \end{align} \(\Delta x\rightarrow 0\)を実行して 式に \({\Delta x} \)がなくなったら、 \( \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\)を書くのをやめます。 よって \begin{align}f'(1) = 3　\end{align} これで完成です。

・分数を書くときは、2行 使って書き、次の1行を空ける
・極限も 2行 使って書く
・1行1行に、何を変形するのか説明をはさんでいく
この３点に気を付けてノートを書いて下さい。
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