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ノートを書きながら進めます。
\( f(x) = \frac{1}{x} \) の $x=2$ における微分係数を求めよ
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x=2 における微分係数なので
\begin{align}f'(2) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 2+{\Delta x} ) - f(2)}{\Delta x}\end{align}
を求めればよいですね。
関数 の使い方
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\begin{align}f( x ) = \frac{1}{x} \end{align}
ときたらこれは
\begin{align}f( ) = \frac{1}{( )}\end{align}
という意味です。だから x=2 の時は、空欄に2をかいて
\begin{align}f(\ 2 \ ) = \frac{1}{(\ 2 \ )}\end{align}
\(x=2+\Delta x\) の時は、空欄に\(2+\Delta x\)をかいて
\begin{align}f( 2+\Delta x ) = \frac{1}{( 2 + \Delta x )}\end{align}
これを最初の式に代入していきます
x=2 における微分係数
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\begin{align}f'(2)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 2+{\Delta x} ) - f(2)}{\Delta x}
\\
\\
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\quad \frac{1}{ 2 + \Delta x } - \frac{1}{\ 2\ } \quad }{\Delta x} \quad
\end{align}
このように、分数の中に分数が入ってしまったら、
分数が2段にならないよう
分子を { と } でくるんでから後ろに下しましょう。
\begin{align}f'(2)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\quad \{ \frac{1}{ 2 + \Delta x } - \frac{1}{\ 2\ } \} \quad }{\Delta x}\\
\\
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{ \frac{1}{ 2 + \Delta x } - \frac{1}{\ 2\ } \}
\end{align}
分数の引き算は通分して分母をそろえればいいだけです。
\begin{align}f'(2)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{
\frac{2 \cdot 1}{2\cdot( 2 + \Delta x )} - \frac{1\cdot ( 2 + \Delta x )}{2\cdot( 2 + \Delta x )}
\}
\end{align}
分母がそろったのでまとめてかきます。分子の後半の（ ）を忘れないように
\begin{align}f'(2)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{
\frac{2 - ( 2 + \Delta x )}{2( 2 + \Delta x )}
\}
\end{align}
マイナスを分配すると
\begin{align}f'(2)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{
\frac{2 - 2 - \Delta x }{2( 2 + \Delta x )}
\}
\end{align}
引き算すると 2 が消えて
\begin{align}f'(2)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{
\frac{ - \Delta x }{2( 2 + \Delta x )}
\}
\end{align}
分子の\( \Delta x \) と前に出してある分母の\( \Delta x \)を約分し
\begin{align}f'(2)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\ 1 \ } \{
\frac{\ -1 \ }{2( 2 + \Delta x )}
\}
\end{align}
分母に単体の\( \Delta x \)がなくなったので、\(\Delta x\rightarrow 0\)を実行、
この行から\(\lim\)なしで
\begin{align}f'(2)
&=&
-\frac{\ 1 \ }{2( 2 + 0 )} \\
\\
&=& -\frac{1 }{4} \quad
\end{align}
これで完成です。
\( f(x) = \frac{1}{x} \) の $x=2$ における微分係数は
\( -\frac{1}{4}\)でした。
マイナスの数値でしたね。
（っていうことは減少しているってことですよね。）
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