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\( f(x) = \tan{(5x)}\) の 導関数を求めよ
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導関数は
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\begin{align}f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( x+{h } ) - f(x)}{h }\end{align}
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\( f( x ) = \tan{(5x)} \) の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
\( f( ) = \tan{(5(\quad ) )\ } \) と書き、
\( f( x+{h } ) = \tan{(5(x+h ) )\ } \)
これを代入
\begin{align}
f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\quad f( x+{h } ) - f(x) }{h }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \tan{(5(x+h) )\ } - \tan{(5x)} }{h }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \tan{(5x+5h) \ } - \tan{(5x)} }{h }
\end{align}
$\displaystyle
\tan{( \quad )} = \frac{\sin{(\quad)}}{\cos{(\quad)}}$
なので、
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac
{ \frac{\sin{(5x+5h)}}{\cos{(5x+5h)}} - \frac{\sin{(5x)}}{\cos{(5x)}} }
{h }
\end{align}
分数の中の分数は書くのが大変なので、
分子を｛ ｝で囲って後ろに下します。
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}
\{ \frac{\sin{(5x+5h)}}{\cos{(5x+5h)}}
- \frac{\sin{( 5x )}}{\cos{( 5x )}}
\}
\end{align}
通分してください。分母を揃えるため
前半には $\cos{(5x)}$ 後半には $\cos{(5x+5h)}$ をかけ
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}
\{
\frac{\sin{(5x+5h)}\cos{(5x)} }{\cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }
- \frac{\cos{(5x+5h)}\sin{(5x)} }{\cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }
\}
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}
\{
\frac{\sin{(5x+5h)}\cos{(5x)} - \cos{(5x+5h)}\sin{(5x)}}{\cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }
\}
\end{align}
ここで分子を音読、$(5x+5h)$ を A, $5x$ をBとおいたときの
$\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}$＝ $\sin(A-B)$なので
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}
\frac{ \sin{\{(5x+5h) - 5x \}}}{\cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }
\end{align}
引き算して整理
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac{ \sin{(5h)} }{ h \cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} } \\
\\
&=&
\lim_{h \rightarrow 0}
\frac{ \sin{(5h)} }{ h}
\frac{1}{ \cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }
\end{align}
$\displaystyle
\lim_{h \rightarrow 0}
\frac{ \sin{h} }{ h }
= 1
$
の形を使いたいから
分母の$h$を分子の角度$5h$とそろえるため分母と分子に 5 をかけて
\begin{align}f'(x)&=&
\lim_{h \rightarrow 0}
\frac{5 \sin{(5h)} }{ 5h}
\frac{1}{ \cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }
\\
\\
&=&
\lim_{h \rightarrow 0}
5 \cdot \frac{\sin{(5h)} }{ 5h}
\frac{1}{ \cos{(5x+5h)}\cos{(5x)} }
\end{align}
$\displaystyle
\lim_{h \rightarrow 0}
\frac{ \sin{(5h)} }{ (5h)}
= 1
$ より
注: ここで左辺 f'(x) を書き直すことが重要！
でないと直前の「=1」につながってしまう
\begin{align}f'(x)&=&
5
\cdot 1 \cdot\frac{1}{\cos{(5x+0)}\cos{5x}}
\\
\\
&=&
\frac{5}{(\cos{5x})^2}
\quad \quad \quad \quad
\\
\\
&=& \frac{5}{\cos^2{5x} }
\quad \quad \quad \quad
\end{align}
まとめると
\begin{align}
( \tan{(5x)} )' = \frac{5}{\cos^2{(5x)} }
\end{align}
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