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例題
インパルス応答 |
インダクタンスL=10μH のコイル、抵抗値 R=200Ω の抵抗、電気容量 C=200pF のコンデンサ を
直列につないだ回路のインパルス応答を求めよ
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１．方程式をたてる
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抵抗
 の両端の電圧 R i(t),
コイル の両端の電圧
L di(t)/dt,
コンデンサ  の両端の電圧
q(t)/C,
合計が 電源の起電力E(t)と等しくなるので､
L di(t)/dt + R i(t) + q(t)/C = E(t)
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２．両辺をラプラス変換する
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L
 ( i ' ) + R( i ) + (1/C)( q ) = ( E )
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３．ラプラス変換の微分法則 を使う
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Ls( i )
+ R( i ) + (1/C)( q ) = ( E ) + Li(0)
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微分法則
( y’ )
=
- y(0) +
s ( y )
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４．電荷q(t)と電流i(t)の関係を考える
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dq(t)/dt = i(t)
両辺をラプラス変換
( q ') = ( i )
微分法則を使い
-q(0) + s( q ) = ( i )
( q ) ={ ( i ) + q(0) }/s
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微分法則
( y’ )
=
- y(0) +
s ( y ) |
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５．( i )だけの式にする
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( q ) の式を元の方程式に代入して
Ls( i )
+ R( i )
+ (1/Cs)( i )
+ q(0)/Cs
= ( E ) + Li(0)
( i )の出てくる項を左辺にまとめて
( Ls + R + 1/Cs ) ( i )
= ( E ) + Li(0) - q(0)/Cs
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( Ls + R + 1/Cs )は
「特性関数」
または
「インピーダンス」 |
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６．右辺を計算する
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「インパルス応答」となっているので
i(0) = 0, q(0)=0, E(t)= δ(t)
( δ(t) )=1 なので
( Ls + R + 1/Cs ) ( i ) = 1
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単位インパルス
単位関数
インパルス応答
単位応答
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ここまでは
いつもと同じ
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７．左辺を( y ) = の形にして整理
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( Ls + R + 1/Cs ) ( i ) = 1
変形して
( Ls2 + Rs + 1/C )/s ( i ) = 1
両辺にs/( Ls2 + Rs + 1/C )をかけ
( i ) = s/( Ls2 + Rs + 1/C )
変形して
( i ) = s/L{ s2 + (R/L)s + (1/LC) }
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左の式は
( i )
= ( Ls + R + 1/Cs )-1
ともかけるね。
この( Ls + R + 1/Cs )-1を
「伝達関数」と
いいます
今､ i はインパルス応答
( インパルス応答 )=
( 伝達関数 )
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ここから
数値による
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ここで初めて数値を代入
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L = 10μH = 10-5H,
R = 2×102Ω,
C = 200pF = 2×10-10F なので
R/L = 2×107、
1/LC = 5×1014 です。
よって
( i ) = (1/L) ・ s/{ s2 + (R/L)s + (1/LC) }
= 105・ s/{ s2 + 2×107 s + 5×1014 }
これは
( i ) = 105・ s/{ (s+107)2 + (2×107)2}
の形に変形できるので
( e-あれｔ cos(これｔ) )
= (s+あれ)/{ (s+あれ)2 + これ2 }
のパターンにもちこめます。この形に近くなるよう、
分子を少し変形して
( i ) = 105・{(s+107) -107}/{ (s+107)2 + (2×107)2}
分子を前半と後半に分けて
( i ) = 105・(s+107)/{ (s+107)2 + (2×107)2}
- 105・107/{ (s+107)2 + (2×107)2}
後半は
( e-あれｔ sin(これｔ) ) = これ/{ (s+あれ)2 + これ2 }
のパターンに近いので、
分子に2×107がくるように
( i ) = 105・(s+107)/{ (s+107)2 + (2×107)2}
- 105/2・(2×107)/{ (s+107)2 + (2×107)2}
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分母を
{ (s+あれ)2 + これ2 }
にしたいのに
{ (s+あれ)2 - これ2 }
になってしまうときは
a2-b2=(a+b)(a-b)
を使って因数分解、
別のパターンへ
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８．右辺が何のラプラス変換か考える
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( i ) =
( 105 ・ exp( -107 t ) cos( 2×107 t ) )
- ( 5×104・exp( -107 t ) sin( 2×107 t ) )
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９．両辺の( ）を同時にはずす
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i = 105 ・ exp( -107 t ) cos( 2×107 t )
- 5×104・exp( -107 t ) sin( 2×107 t )
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周波数fとすると
2πf = 2×107より
f は約 3MHz
i に単位が無い!?
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検算しましょう
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出来た答えを微分して元の方程式に代入し、成り立つかどうか確かめよう。
初期条件も代入して確かめよう。ただし、
インパルス応答のときは t=0 を代入して成り立たないこともあります。
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合成法則
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