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例題(一般的)
LCR回路 |
インダクタンスLのコイル、抵抗値Rの抵抗、電気容量Cのコンデンサを電圧Eの定電圧電源に直列につないだ。応答を求めよ
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次の問題
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１．方程式をたてる
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抵抗
 の両端の電圧 R i(t)
コイル の両端の電圧 L di(t)/dt
コンデンサ  の両端の電圧q(t)/C
の合計が 電源の起電力E(t)と等しくなるので､
L di(t)/dt + R i(t) + q(t)/C = E(t)
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このページでは
分数をq/Cのように
斜線でかきましたが
皆さんは斜線でなく
水平の線で
書いてください
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２．両辺をラプラス変換する
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L
 ( i ' ) + R( i ) + (1/C)( q ) = ( E )
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３．ラプラス変換の微分法則 を使う
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L{ s( i ) - i(0) }
+ R( i ) + (1/C)( q ) = ( E )
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微分法則
( i’ )
=
- i(0) +
s ( i )
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４．電荷q(t)と電流i(t)の関係を考える
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dq(t)/dt = i(t)
両辺をラプラス変換
( q ') = ( i )
微分法則を使い
-q(0) + s( q ) = ( i )
( q ) ={ ( i ) + q(0) }/s
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微分法則
( q’ )
=
- q(0) +
s ( q ) |
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５．( i )だけの式にする
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( q ) の式を元の方程式に代入して
Ls( i )-Li(0)
+ R( i )
+ (1/Cs)( i )+q(0)/Cs
= ( E )
( i )の出てくる項だけを左辺にまとめて
( Ls + R + 1/Cs ) ( i )
= ( E ) + Li(0) - q(0)/Cs
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( Ls + R + 1/Cs )は
「特性関数」
または
「インピーダンス」 |
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６．右辺を計算する
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「電圧Eの定電圧電源」となっているので、Eは定数
( E )= E( 1 )= E/s
「応答」となっているので
i(0) = 0, q(0)=0, これらを代入
( Ls + R + 1/Cs ) ( i ) = E/s
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７．左辺を( y ) = の形にして整理
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両辺にsをかけ
( Ls2 + Rs + 1/C ) ( i ) = E
両辺を( Ls2 + Rs + 1/C )で割って
( i ) = E/( Ls2 + Rs + 1/C )
変形して
( i ) = (E/L) * 1/{ s2 + (R/L)s + (1/LC) }
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応答
左の式は
( i )
=(Ls + R + 1/Cs)-1 E/s
ともかけるね。
この
( Ls + R + 1/Cs )-1を
「伝達関数」と
いいます
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ここから先は､数値によって方針が変わってきます。
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( i ) =(E/L)* 1/{ (s-あれ)2+これ2 } の形になるとき
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右辺を( eあれｔ cos(これｔ) )を使って書く
例
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( i ) =(E/L)* 1/{ (s-あれ)2 } の形になるとき
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右辺を( ｔ eあれｔ )を使って書く
例
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( i ) =(E/L)* 1/{ (s-あれ)(s-これ) } の形になるとき
- 右辺を部分分数分解して
( eあれｔ )と
( eこれｔ )の組合せで書く
例
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８．右辺が何のラプラス変換か考える
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( i ) =
( なにか )
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９．両辺の( ）を同時にはずす
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i = なにか
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検算しましょう
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出来た答えを微分して元の方程式に代入し、成り立つかどうか確かめよう。
初期条件も代入して確かめよう。
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